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人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质课后复习题
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这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质课后复习题，共34页。试卷主要包含了5B．8C．15D．无法确定，5 ．等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级数学上册
12.3《角的平分线的性质》同步训练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2015•天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（ ）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
3．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2015•泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（ ）
A．2m B．a﹣m C．a D．a+m
5．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
6．（2015•芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ ）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
7．（2015•江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10
8．（2015春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
9．（2015秋•平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
10． （2015春•吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
二．填空题（共10小题）
11．（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 ．
12．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ．
13．（2015•萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= ．
14．（2015•绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为 ．
15．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为 ．
16．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC= （度）．
17．（2015秋•蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB的长为 ．
18．（2015秋•镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC= ，DE= ．
19．（2014秋•定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③
∠APE=∠APF，上述结论中正确的是 （只填序号）．
20．（2013秋•石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2015•路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：
22．（2015春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．
23．（2015•黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
24．（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
25．（2015秋•泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
26．（2014秋•芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．
27．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．
求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．
28．（2014秋•南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的长．
29．（2014秋•苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：
如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
（1）比较PD与PE的长短，得 ；
（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得 ；
（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？
请你试一试．
30．（2014秋•赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
人教版八年级数学上册
12.3《角的平分线的性质》同步训练习题参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
选A
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
2．（2015•天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（ ）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．
【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，
∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．
故选D．
【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【专题】常规题型．
【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于CD，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，
∴点D到AB的距离是4．
故选A．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．（2015•泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（ ）
A．2m B．a﹣m C．a D．a+m
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．21世纪教育网
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，然后根据AE=AB﹣BE计算即可得解．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵∠B=45°，DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE=m，
∵AE=AB﹣BE=a﹣m，
∴AC=a﹣m．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
5．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB．
∴AD=DE=3．
又∵BC=5，
∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（2015•芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ ）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．
7．（2015•江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：∵CD=3，BD=5，
∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正确；
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，
∵BD=5，DE=3，
∴BE===4．
∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，
∴△BED∽△BCA，
∴==，即==，解得AB=10，AC=6，故A，D正确；
在Rt△ACD中，
∵AC=6，CD=3，
∴AD===3，故B错误．
故选B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
8．（2015春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
【考点】角平分线的性质；作图—应用与设计作图．21世纪教育网
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选D．
【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
9．（2015秋•平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE，由此又可得出很多结论，对各选项逐个验证，证明．
【解答】解：CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC；
又有AD=AD，
可证△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即DE平分∠ADB；
在△ACD中，CD+AC＞AD
所以ED+AC＞AD．
故选B．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键．
10．（2015春•吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【专题】网格型．
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 4：3 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
12．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴BC=AB=3，
∴CD=BC•tan30°=3×=，
∵BD是∠ABC的平分线，
又∵角平线上点到角两边距离相等，
∴点D到AB的距离=CD=，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（2015•萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= 5 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线的性质得到AD=3，由勾股定理求得BD．
【解答】解：∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，
∴AD=3，
∵AB=4，
∴BD==5．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，由已知能够注意到D到BC的距离即为DE长是解决的关键．
14．（2015•绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为 8 ．
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．21世纪教育网
【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小．结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．
【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．
∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，
∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD=DP，又AD=8，
∴DP=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．
15．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为 6 ．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．21世纪教育网
【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．
【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6
根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3，
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°=∠C
∴△CAD≌△EAD（AAS）
∴AC=AE=3，DE=CD
∴EB=AB﹣AE=6﹣3
故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．
【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．
16．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC= 100 （度）．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．
【解答】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∵∠DBC=50°，
∴∠ABC=100°，
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
17．（2015秋•蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB的长为 8 ．
18．（2015秋•镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC= 36cm2 ，DE= 4cm ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ABD：S△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面积公式列式计算即可求出DE．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，
∴点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，
∵AB=12cm，BC=18cm，
∴S△ABD：S△DBC=AB：BC=12：18=2：3，
∵S△ABC=60cm2，
∴S△DBC=60×=36cm2，
∵DE⊥BC，
∴BC•DE=36，
即×18•DE=36，
解得DE=4cm．
故答案为：36cm2；4cm．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记各性质是解题的关键．
19．（2014秋•定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③
∠APE=∠APF，上述结论中正确的是 ①②③ （只填序号）．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】先根据角平分线的性质求得PE=PF，再利用全等即可判定．
【解答】解：∵点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE=PF
∴Rt△APE≌RT△APF（HL）
∴AE=AF，∠APE=∠APF
故填①②③．
【点评】本题主要考查平分线的性质及三角形全等的判定及性质；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解决的关键．
20．（2013秋•石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是 31.5 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】连接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．
【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB
=×OD×（BC+AC+AB）
=×3×21=31.5．
故填31.5．
【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2015•路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．
【解答】已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌△RtPOF，
∴∠EOP=∠FOP，
∴点P在∠AOB的平分线上．
【点评】本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
22．（2015春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】（1）求出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE==4．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能推出△ACD≌△AED和求出∠B=30°是解此题的关键．
23．（2015•黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．21世纪教育网
【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
【解答】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
24．（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．
25．（2015秋•泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．
根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°．
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF=DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．
26．（2014秋•芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．
27．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．
求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；
（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，
在Rt△COE和Rt△DOE中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），
∴CO=DO；
（2）∵EO平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE，
在△COF和△DOF中，
，
∴△COF≌△DOF（SAS），
∴FC=FD．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
28．（2014秋•南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的长．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】（1）根据S△ACD=S△ABC﹣S△ABD，利用三角形的面积公式可求解；
（2）过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据（1）中所求S△ACD=3列出方程求解即可．
【解答】解：（1）S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=7﹣×4×2=3；
（2）如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
29．（2014秋•苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：
如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
（1）比较PD与PE的长短，得 PD=PE ；
（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得 QF=QG ；
（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？
角平分线上的点到角的两边的距离相等 请你试一试．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】（1）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；
（2）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；
（3）可以通过证明三角形全等来得到正确的结论；
【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；
（2）用直尺量得QF=QG；
（3）证明：∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，
∴∠AOC=∠BOC，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP，
∴△DOO≌△EPO，
∴PD=PE，
∴角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质，通过学生的动手、动脑使得学生更加牢固的掌握了新知识．
30．（2014秋•赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】几何综合题．
【分析】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．
【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
人教版八年级数学上册
12.3《角的平分线的性质》同步训练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2015•天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（ ）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
3．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2015•泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（ ）
A．2m B．a﹣m C．a D．a+m
5．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
6．（2015•芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ ）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
7．（2015•江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10
8．（2015春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
9．（2015秋•平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
10． （2015春•吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
二．填空题（共10小题）
11．（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 ．
12．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ．
13．（2015•萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= ．
14．（2015•绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为 ．
15．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为 ．
16．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC= （度）．
17．（2015秋•蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB的长为 ．
18．（2015秋•镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC= ，DE= ．
19．（2014秋•定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③
∠APE=∠APF，上述结论中正确的是 （只填序号）．
20．（2013秋•石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2015•路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：
22．（2015春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．
23．（2015•黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
24．（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
25．（2015秋•泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
26．（2014秋•芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．
27．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．
求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．
28．（2014秋•南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的长．
29．（2014秋•苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：
如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
（1）比较PD与PE的长短，得 ；
（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得 ；
（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？
请你试一试．
30．（2014秋•赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
人教版八年级数学上册
12.3《角的平分线的性质》同步训练习题参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
选A
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
2．（2015•天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（ ）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．
【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，
∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．
故选D．
【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【专题】常规题型．
【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于CD，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，
∴点D到AB的距离是4．
故选A．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．（2015•泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（ ）
A．2m B．a﹣m C．a D．a+m
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．21世纪教育网
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，然后根据AE=AB﹣BE计算即可得解．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵∠B=45°，DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE=m，
∵AE=AB﹣BE=a﹣m，
∴AC=a﹣m．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
5．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB．
∴AD=DE=3．
又∵BC=5，
∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（2015•芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ ）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．
7．（2015•江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：∵CD=3，BD=5，
∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正确；
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，
∵BD=5，DE=3，
∴BE===4．
∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，
∴△BED∽△BCA，
∴==，即==，解得AB=10，AC=6，故A，D正确；
在Rt△ACD中，
∵AC=6，CD=3，
∴AD===3，故B错误．
故选B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
8．（2015春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
【考点】角平分线的性质；作图—应用与设计作图．21世纪教育网
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选D．
【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
9．（2015秋•平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE，由此又可得出很多结论，对各选项逐个验证，证明．
【解答】解：CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC；
又有AD=AD，
可证△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即DE平分∠ADB；
在△ACD中，CD+AC＞AD
所以ED+AC＞AD．
故选B．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键．
10．（2015春•吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【专题】网格型．
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 4：3 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
12．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴BC=AB=3，
∴CD=BC•tan30°=3×=，
∵BD是∠ABC的平分线，
又∵角平线上点到角两边距离相等，
∴点D到AB的距离=CD=，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（2015•萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= 5 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线的性质得到AD=3，由勾股定理求得BD．
【解答】解：∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，
∴AD=3，
∵AB=4，
∴BD==5．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，由已知能够注意到D到BC的距离即为DE长是解决的关键．
14．（2015•绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为 8 ．
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．21世纪教育网
【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小．结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．
【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．
∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，
∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD=DP，又AD=8，
∴DP=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．
15．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为 6 ．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．21世纪教育网
【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．
【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6
根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3，
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°=∠C
∴△CAD≌△EAD（AAS）
∴AC=AE=3，DE=CD
∴EB=AB﹣AE=6﹣3
故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．
【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．
16．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC= 100 （度）．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．
【解答】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∵∠DBC=50°，
∴∠ABC=100°，
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
17．（2015秋•蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB的长为 8 ．
18．（2015秋•镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC= 36cm2 ，DE= 4cm ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ABD：S△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面积公式列式计算即可求出DE．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，
∴点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，
∵AB=12cm，BC=18cm，
∴S△ABD：S△DBC=AB：BC=12：18=2：3，
∵S△ABC=60cm2，
∴S△DBC=60×=36cm2，
∵DE⊥BC，
∴BC•DE=36，
即×18•DE=36，
解得DE=4cm．
故答案为：36cm2；4cm．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记各性质是解题的关键．
19．（2014秋•定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③
∠APE=∠APF，上述结论中正确的是 ①②③ （只填序号）．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】先根据角平分线的性质求得PE=PF，再利用全等即可判定．
【解答】解：∵点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE=PF
∴Rt△APE≌RT△APF（HL）
∴AE=AF，∠APE=∠APF
故填①②③．
【点评】本题主要考查平分线的性质及三角形全等的判定及性质；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解决的关键．
20．（2013秋•石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是 31.5 ．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】连接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．
【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB
=×OD×（BC+AC+AB）
=×3×21=31.5．
故填31.5．
【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2015•路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．
【解答】已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌△RtPOF，
∴∠EOP=∠FOP，
∴点P在∠AOB的平分线上．
【点评】本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
22．（2015春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】（1）求出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE==4．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能推出△ACD≌△AED和求出∠B=30°是解此题的关键．
23．（2015•黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．21世纪教育网
【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
【解答】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
24．（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．
25．（2015秋•泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．
根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°．
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF=DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．
26．（2014秋•芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．
27．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．
求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；
（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，
在Rt△COE和Rt△DOE中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），
∴CO=DO；
（2）∵EO平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE，
在△COF和△DOF中，
，
∴△COF≌△DOF（SAS），
∴FC=FD．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
28．（2014秋•南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的长．
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【分析】（1）根据S△ACD=S△ABC﹣S△ABD，利用三角形的面积公式可求解；
（2）过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据（1）中所求S△ACD=3列出方程求解即可．
【解答】解：（1）S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=7﹣×4×2=3；
（2）如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
29．（2014秋•苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：
如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
（1）比较PD与PE的长短，得 PD=PE ；
（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得 QF=QG ；
（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？
角平分线上的点到角的两边的距离相等 请你试一试．
【考点】角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】（1）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；
（2）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；
（3）可以通过证明三角形全等来得到正确的结论；
【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；
（2）用直尺量得QF=QG；
（3）证明：∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，
∴∠AOC=∠BOC，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP，
∴△DOO≌△EPO，
∴PD=PE，
∴角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质，通过学生的动手、动脑使得学生更加牢固的掌握了新知识．
30．（2014秋•赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
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【专题】几何综合题．
【分析】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．
【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
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