初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理第1课时当堂检测题

17.2 勾股定理的逆定理

第1课时 勾股定理的逆定理

基础训练

知识点1逆命题、逆定理

1.下列说法正确的是(　　)

A.每个定理都有逆定理

B.每个命题都有逆命题

C.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题

D.真命题的逆命题是真命题

2.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a=1,则=a;③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

3.下列定理中,没有逆定理的是(　　)

A.直角三角形的两锐角互余

B.若三角形三边长a,b,c(其中a<c,b<c)满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形

C.全等三角形的对应角相等

D.互为相反数的两数之和为0

知识点2 勾股定理的逆定理

4.(2016·南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　)

A.3,4,4 B.3,4,5

C.3,4,6 D.3,4,7

5.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则(　　)

A.∠A为直角 　　　　B.∠B为直角

C.∠C为直角 　　　　D.△ABC不是直角三角形

6.五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是(　　)

7.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,

则∠ABC的度数为(　　)

A.90° B.60°

C.45° D.30°

8.△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13,其中能判定△ABC是直角三角形的有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

知识点3 勾股数

9.下面几组数中,为勾股数的一组是(　　)

A.4,5,6     B.12,16,20

C.-10,24,26  D.2.4,4.5,5.1

10.下列几组数:①9,12,15;②8,15,17;③7,24,25;④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有(　　)

A.1组  B.2组  C.3组 D.4组

11.给出下列命题:

①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c仍是一组勾股数;

②如果直角三角形的两边长分别是3和4,那么另一边长的平方必为25;

③如果一个三角形的三边长分别是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;

④一个等腰直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中a是斜边长,那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是(　　)

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

易错点 忽视勾股数是正整数这一条件

12.下列各组数能构成勾股数的是　　　　.(填序号) 

①6,8,10;　②7,8,10;　③,,1.

提升训练

考查角度1 利用三角形三边的数量关系求网格中三角形的面积和角度

13.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,(1)求四边形ABCD的面积;(2)求∠ABC的度数.

考查角度2 利用直角三角形的边角关系求线段长

14.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6.

(1)判断△ABC是什么三角形;

(2)用尺规作出边BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E;(不写作法,保留作图痕迹)

(3)连接CE,求CE的长.

探究培优

拔尖角度1 利用勾股数的特征探究勾股数(从特殊到一般的思想)

15.观察下列勾股数:

①3,4,5,且32=4+5;

②5,12,13,且52=12+13;

③7,24,25,且72=24+25;

④9,b,c,且92=b+c;

…

(1)请你根据上述规律,并结合相关知识可得:

b=　　　　,c=　　　　; 

(2)猜想第n组勾股数(n为正整数),并证明你的猜想.

拔尖角度2 利用勾股定理的逆定理求角的度数(旋转法)　

16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.

参考答案

1.【答案】B　

2.【答案】A

解：试题分析：①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题：若ac＞bc，则a＞b也是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题：若=a，则a=1是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题：相等的角是内错角也是假命题；故选A.

3.【答案】C　4.【答案】C　

5.【答案】A

解：∵（a+b）（a-b）=c2，

∴a2-b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．

6.【答案】C

7.【答案】C　

解：连接AC,根据勾股定理可以得到AC2=BC2=5,

AB2=10.

即AC2+BC2=AB2,

所以△ABC是等腰直角三角形.

所以∠ABC=45°.故选C.

8.【答案】C　

解：①中,∵∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;②中,由∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5得△ABC中最大角∠C=180°×=75°,则△ABC为锐角三角形;③中,a2=(b+c)(b-c)=b2-c2,即a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形;④中,因为a∶b∶c=5∶12∶13,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形,故选C.

9.【答案】B　

解：A中虽然4,5,6均为正整数,但42+52≠62;C中虽然(-10)2+242=262,但-10<0;D中虽然满足2.42+4.52=5.12,但不是整数.

方法总结:勾股数的特征:勾股数为三个正整数,且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数

有:3,4,5;5,12,13;8,15,17;9,40,41.记住常见的勾股数可以提高做题速度.

10.【答案】D　11.【答案】C

12.【答案】①　

易错总结:首先要注意到勾股数必须是一组正整数,其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.本题易误认为③也是勾股数.

13.解:(1)S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×5×2+×5×3=.

(2)因为AB2=22+42=20,BC2=12+22=5,AC2=52=25,

所以AB2+BC2=AC2.

所以∠ABC=90°.

14.解:(1)因为AB=8,BC=10,AC=6,102=82+62,所以BC2=AB2+AC2,所以△ABC是直角三角形.

(2)如图所示.

(3)如图,设CE=x,因为DE垂直平分BC,所以BE=CE=x,在Rt△ACE中,可得:CE2=AE2+AC2,即:x2=(8-x)2+62,

解得:x=6.25.

所以CE的长为6.25.

15.解:(1)40;41

(2)猜想第n组勾股数为2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1.

证明如下:因为

(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,

所以(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2.

因为n是正整数,所以2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1是一组勾股数.

16.解:如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,则

P'C=PC=2,P'A=PB=1,连接PP'.∵∠PCP'=90°,∴PP'2=22+22=8.又

P'A=1,PA=3,而PP'2+P'A2=8+1=9,PA2=9,∴PP'2+P'A2=PA2.

∴∠AP'P=90°,又∠CP'P=45°.

∴∠BPC=∠CP'A=135°.