数学八年级下册18.2.3 正方形一课一练

18.2 特殊的平行四边形

第5课时 正方形及其性质

基础训练

知识点1 正方形的定义

1.下面四个定义中不正确的是(　　)

A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形

C.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2.下列说法错误的是(　　)

A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形

C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形

3.已知,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是(　　)

A.∠D=90° B.AB=CD

C.AD=BC    D.BC=CD

知识点2 正方形边的性质

4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)

A.四个角都相等 B.四条边相等

C.对角线相等    D.对角线互相平分

5.(2016·广东)如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(　　)

A.B.    2    C.+1    D.2+1

6.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为(　　)

A.2 B.3

C. D.

7.(2016·毕节)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是(　　)

A.3    B.4    C.5    D.6

知识点3 正方形角的性质

8.如图,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数

是　　　　. 

9.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E,若∠CBF=20°,则∠AED的度数是____________ 

10.如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC等于(　　)

A.45° B.55° C.60° D.75°

易错点 不能将两线段和转化为一条线段而致错

11．如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为　　　　. 

提升训练

考查角度1 利用正方形性质解边角问题

12.如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,连接BE,CE.

(1)求证:BE=CE;

(2)求∠BEC的度数. 

考查角度2 利用正方形性质判定图形形状

13.(2016·贵阳)如图,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE,CF.

(1)求证:△ABF≌△CBE;

(2)判断△CEF的形状,并说明理由.

探究培优

拔尖角度1 利用三角形、正方形的性质探究两线段间的关系

14.如图①,在正方形ABCD的外侧作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.

(1)请判断:AF与BE的数量关系是　　　　,位置关系是　　　　. 

(2)如图②,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并说明理由.

(3)若△ADE和△DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.

拔尖角度2 利用正方形的性质探究改变条件时的结论情况(类比思想)

15.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.             

(1)证明:PC=PE;

(2)求∠CPE的度数;

(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.

参考答案

1.【答案】B　2.【答案】D　3.【答案】D　4.【答案】B

5.【答案】B　

解：由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=1,∠BCD=90°,CE=CF=,所以△CEF是等腰直角三角形.再利用勾股定理求出EF的长,即可得出正方形EFGH的周长.

6.【答案】A　

解：延长AB至点F',使BF'=DF,连接CF',EF,先证明Rt△CDF≌Rt△CBF',再证明△ECF≌△ECF',得出EF=EF',最后在Rt△AEF中,利用勾股定理、方程思想解决问题.

7.【答案】B　

解：根据折叠的性质可得DH=EH,在Rt△CEH中,若设CH=x,则DH=EH=9-x,EC=3,可以根据勾股定理列出方程,从而得出CH的长.

8.【答案】90°　9.【答案】65°　10.【答案】C

11.【答案】　

解：在AD上取一点M,使得AM=2,连接EM,交AC于点P,易得此时PF+PE的值最小,即EM的长为PF+PE的最小值.过点M作MN⊥BC于N,由题意可知EN=BN-BE=AM-BE=2-1=1,MN=4,所以EM===.　

易错解：此类问题容易出错的地方是不能将两条线段的和转化为一条线段.

方法规律:正方形是特殊的平行四边形,由于正方形是轴对称图形,求线段和的最小值,往往要通过轴对称的方式将同侧两点转化为异侧两点,通过两点间线段最短求得两线段和的最小值.

12.(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°.

∵三角形ADE为等边三角形,

∴AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°.

∴∠BAE=∠CDE=150°.

∴△BAE≌△CDE.∴BE=CE.

(2)解:∵AB=AD,AD=AE,

∴AB=AE.

∴∠ABE=∠AEB.

又∵∠BAE=150°,

∴∠ABE=∠AEB=15°.

同理可得∠CED=15°,

∴∠BEC=60°-15°×2=30°.

13.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=CB,∠ABC=90°.

∵△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,

∴BE=BF.

∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF.

∴∠ABF=∠CBE.

在△ABF和△CBE中,

有

∴△ABF≌△CBE(SAS).

(2)解:△CEF是直角三角形.理由如下:

∵△EBF是等腰直角三角形,

∴∠BFE=∠FEB=45°.

∴∠AFB=180°-∠BFE=135°.

又∵△ABF≌△CBE,

∴∠CEB=∠AFB=135°.

∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°.

∴△CEF是直角三角形.

14.解:(1)AF=BE;AF⊥BE

(2)结论成立.

理由:∵四边形ABCD是正方形,

∴BA=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°.

在△EAD和△FDC中,

∴△EAD≌△FDC.

∴∠EAD=∠FDC.

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA,即∠BAE=∠ADF.

在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADF.

∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.

∵∠DAF+∠BAF=90°,

∴∠ABE+∠BAF=90°.

∴AF⊥BE.

(3)结论都能成立.

15.(1)证明:方法一:∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.

在△ADP和△CDP中,

∴△ADP≌△CDP.∴PA=PC.

∵PA=PE,∴PC=PE.

方法二:∵四边形ABCD是正方形,

∴直线BD是此正方形的一条对称轴,点A,C关于直线BD对称.

又∵P是BD上一点,∴PA=PC.

∵PA=PE,∴PC=PE.

(2)解:∵四边形ABCD为正方形,

∴∠ADC=90°.

∴∠CDE=90°.

∴∠E+∠DFE=90°.

∵PA=PE,∴∠PAD=∠E.

又∵△ADP≌△CDP,

∴∠PAD=∠PCD.

∴∠PCD=∠E.

∵∠PFC=∠DFE,∴∠PCD+∠PFC=∠E+∠DFE=90°.

∴∠CPE=90°.

(3)解:CE=AP.理由:

易证△ADP≌△CDP,

∴PA=PC,∠PAD=∠PCD.

∵PA=PE,

∴PC=PE,∠PAE=∠PEA.　

∴∠PEA=∠PCD.

∵∠EFC=∠CPE+∠PCD=∠CDE+∠PEA,

∴∠CPE=∠CDE.

∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,∴∠ADC=120°.

∴∠CDE=60°.∴∠CPE=60°.

∵PC=PE,∴△PCE是等边三角形.∴CE=PE.

∵PE=PA,∴CE=AP.