初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理第1课时课时练习

17.1 勾股定理

第1课时 勾股定理

       基础训练

知识点1 勾股定理

1.(2016·株洲)如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是(　　)

A.1  B.2  C.3 D.4

2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是(　　)

A.b2=c2-a2     B.a2=c2-b2     C.b2=a2-c2  D.c2=a2+b2

3.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为(　　)

A.5      B. C.  D.5或

4.(2016·荆门)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是

∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(　　)

A.5         B.6     C.8   D.10

5.(2016·东营)在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于(　　)

A.10       B.8          C.6或10   D.8或10

6.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是(　　)

A.4.8　　 B.4.8或3.8　　 C.3.8　　 D.5

知识点2 勾股定理与面积的关系

7.如图,字母B所代表的正方形的面积是(　　)

A.12 B.13 C.144 D.194

8.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为(　　)

A.3      B.4    C. 5   D.7

9.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(　　)

A.48 B.60 C.76 D.80

10.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是(　　)

A.13　 B.26 C.47 D.94

易错点 考虑问题不全面而漏解(分类讨论思想)

11.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为(　　)

A.25　 　B.7　　 C.7或25　　 D.9或16

提升训练

考查角度1 利用勾股定理求直角三角形中的边长

12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.

(1)求DC的长;

(2)求AB的长.

考查角度2 利用勾股定理求三角形的面积

13.(2016·益阳)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.

某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.

如图,作AD⊥BC于D,
设BD=x,用含x
的代数式表示CD→根据勾股定理,利用
AD作为“桥梁”,建
立方程模型求出x→

利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积

探究培优

拔尖角度1 利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)　

14.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.

(1)求DB的长;

(2)求△ABC中BC边上的高.

拔尖角度2 利用勾股定理解四边形问题(补形法)

15.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求: (1)AB的长;

(2)四边形ABCD的面积.

参考答案

1.【答案】D　

解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a2+b2=c2.

第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.

第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.

第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.

第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.

2.【答案】C

3.【答案】D　

解：当两直角边长分别为3和4时,斜边长为=5;当斜边长为4时,另一条直角边长为=.故选D.

4.【答案】C

5.【答案】C　

解：根据题意画出图形,

如图①所示,AB=10,AC=2,AD=6,

在Rt△ABD和Rt△ACD中,

根据勾股定理得BD==8,CD==2,

此时BC=BD+CD=8+2=10;

如图②所示,AB=10,AC=2,AD=6,　

在Rt△ABD和Rt△ACD中,

根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6,

则BC的长为6或10.

故选C.

6.【答案】A　

解：如图,过A点作AF⊥BC于F,连接AP,因为在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,所以BF=4,所以在Rt△ABF中,AF2=AB2-BF2=9,所以AF=3,所以×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5(PD+PE),解得PD+PE=4.8.

7.【答案】C　8.【答案】D

9.【答案】C　

解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.

10.【答案】C

11.错解:A

诊断:容易忽略a,c为直角边长,b为斜边长这种情况,故很容易错选A.

正解:C

解题策略:解答此题要用分类讨论思想.此题有两种情况:a,b为直角边长,c为斜边长和a,c为直角边长,b为斜边长,利用勾股定理即可求解.

12.解:(1)在Rt△BCD中,DC2=BC2-BD2=32-=,

所以DC=.

(2)在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-=,所以AD=,所以AB=AD+BD=+=5.

13.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,

AC=13,

设BD=x,则CD=14-x,

由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,

所以152-x2=132-(14-x)2,

解得x=9.

在Rt△ABD中,AD===12.

所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.

14.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,

∴BD==3.

(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA中,

∴△BDC≌△EDA(SAS),

∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.

∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.

∴BE为△ABC中BC边上的高,

∴BE=2BD=6.

15.解:(1)如图,延长AD,BC交于点E,

在Rt△ABE中,∠A=60°,

∴∠E=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,∴BE=BC+CE=6+8=14.设AB=x,则有AE=2x,

根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=.

(2)在Rt△CDE中,∠CDE=90°,

∴DE===4.

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE

=·AB·BE-·CD·DE

=××14-×4×4

=.