初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆课后练习题

第二十四章过关自测卷

（100分,45分钟）

一、选择题（每题4分，共32分）

1.〈重庆〉如图1，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（    ）

A．40°    B．50°    C．65°    D．75°

图1                  图2

2.〈甘肃兰州〉如图2是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，则该输水管的半径为（    ）

A．3 cm    B．4 cm    C．5 cm    D．6 cm

3.〈甘肃兰州〉圆锥底面圆的半径为3 cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（    ）

A．3 cm    B．6 cm    C．9 cm    D．12 cm

图3                          图4

4.如图3，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为（    ）

A．6a    B．5a     C．2aπ    D． aπ

5.〈山东泰安〉如图4，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（    ）

A．OC//AE          B．EC=BC

C．∠DAE=∠ABE    D．AC⊥OE

6.〈2013,晋江市质检〉如图5，动点M，N分别在直线AB与CD上，且AB//CD，∠BMN与∠MND的平分线相交于点P，若以MN为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是（    ）

图5

A．点P在⊙O外    B．点P在⊙O内

C．点P在⊙O上    D．以上都有可能

7.△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（    ）

A．120°    B．125°    C．135°    D．150°

8.〈贵州遵义〉如图6，将边长为1 cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（    ）

图6

A．π cm    B． cm    C．π cm    D．3 cm

二、填空题（每题4分，共24分）

9.〈四川巴中〉如图7，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于________.

图7                  图8

10.〈重庆〉如图8，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为________（结果保留π）．

11.〈贵州遵义〉如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为________（结果保留根号）．

图9                      图10

12.如图10，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为每秒1个单位长度，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第________秒．

13.如图11,正六边形ABCDEF中,AB=2,P是ED的中点,连接AP,则AP的长为________.

图11                     图12

14.如图12，AB为半圆O的直径，C为半圆的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是________．

三、解答题（15题9分，16题10分，17题11分，18题14分，共44分）

15. 如图13所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM是AB边上的中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？

图13  

16. 如图14，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°.

（1）求证：AB是⊙O的切线； 

图14

（2）若⊙O的半径为2，求的长．

17.如图15，从一个直径为4的圆形铁片中剪下一个圆心角为90°的扇形ABC．

（1）求这个扇形的面积； 

图15

（2）在剩下的材料中，能否从③中剪出一个圆作为底面，与扇形ABC围成一个圆锥？若不能，请说明理由；若能，请求出剪的圆的半径是多少．

18. 如图16，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；

                                 图16

（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案及点拨

一、1. C   点拨：∵AB是⊙O的切线，B为切点，

∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，

∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，∵OB=OC，

∴∠OCB=（180°－∠O）=65°．故选C．

2. C  点拨：如答图1所示，过圆心O作OD⊥AB于点D，连接OA.

答图1

∵OD⊥AB，

∴AD=AB=×8=4 (cm).

设OA=r cm，则OD=(r－2 )cm，

在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r－2）2+42，

解得r=5．

故选C．

3. B   点拨：解答本题运用了方程思想.由题意得圆锥的底面周长是6πcm，设母线长是l cm，则lπ=6π，解得：l=6．故选B．

4. C   点拨：分析可知，六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，它的中心O点所经过的路径长为×6=2aπ．故选C．

5. D   点拨：A.∵点C是的中点，

∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，

∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；

B.∵=，∴EC=BC，本选项正确；

C.∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，

∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠DAE=∠ABE，本选项正确；

D.AC不一定垂直于OE，本选项错误.故选D.

6. C  点拨：∵AB∥CD，

∴∠BMN+∠MND=180°，

∵∠BMN与∠MND的平分线相交于点P，

∴∠PMN=∠BMN，∠PNM=∠MND，

∴∠PMN+∠PNM=90°.

∴∠MPN=180°－（∠PMN+∠PNM）=180°－90°=90°.

∴以MN为直径作⊙O时，OP=MN=⊙O的半径，

∴点P在⊙O上．故选C．

7. C   点拨：如答图2，连接IC．

答图2

∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°，

∴∠BAC+∠ACD=90°.

∵I为△ACD的内切圆圆心，

∴AI，CI分别是∠BAC和∠ACD的平分线，

∴∠IAC+∠ICA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，

∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI,

∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°．故选C．

8. C   点拨：结合题图和已知条件，易知点B经过的路径长

=2× (cm)．故选C．

二、9. 32° 点拨：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，

∴∠A=90°－∠ABD=32°，

∴∠BCD=∠A=32°．

10.π－2   点拨：S扇形OAB= =π，

S△AOB=×2×2=2，

则S阴影=S扇形OAB－S△AOB=π－2．

11.   点拨：解答本题运用了方程思想.∵图中两个阴影部分的面积相等，∴S扇形ADF=S△ABC，即=·AC·BC，

又∵AC=BC=1，∴AF2=，∴AF=．

12. 4   点拨：如答图3所示,根据题意，作O′D⊥BC于D，则O′D=．在Rt△O′CD中，∠C=60°，O′D=，

∴O′C=2，∴O′A=6－2=4.

∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．

答图3                答图4

13.   点拨： 连接AE，如答图4,由题意易得AE=2,EP=1,     ∠AEP=90°.∴在Rt△AEP中，

AP= = =.

14. a  点拨：连接OC,OP，如答图5所示.

∵C为半圆的三等分点，

答图5

∴∠BOC=120°,

已知PC，PB都是半圆O的切线，

由切线长定理可得：∠POB=∠BOC=60°.在Rt△POB中，OB=a，∠POB=60°，则PB=a；在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP

==a.

三、15. 解：∵CA=2cm＜cm，∴点A在⊙C内;

∵BC=4cm＞cm，∴点B在⊙C外；

在△ABC中，∠ACB=90°,

∴由勾股定理，得AB= =2（cm）.∵ CM是AB边上的中线，∴ CM=AB=cm，∴ CM=⊙C的半径，∴点M在⊙C上．

16.（1）证明：连接OB，如答图6所示：

答图6

∵BC=AB，∠CAB=30°，

∴∠ACB=∠CAB=30°，

又∵OC=OB，

∴∠CBO=∠ACB=30°，

∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°.

在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，

可得∠ABO=90°，即AB⊥OB，

∴AB是⊙O的切线.

（2）解：∵OB=2，∠BOD=60°，

∴的长度l=π．

点拨：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质以及弧长公式的运用.切线的判定方法有两种：有切点连半径，证明垂直；无切点作垂线，证明垂线段等于半径．

17. 解：（1）如答图7所示，连接BC．

由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，

∴BC=4.

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2，

∴S扇形ABC==2π.

答图7

（2）不能．

如答图7所示，连接AO并延长交于点D，交⊙O于点E，则

DE=4－2．

而l==π，

设能与扇形ABC围成圆锥的底面圆的直径为d，

则dπ=π，

∴d=．

又∵DE=4－2＜d=，即围成圆锥的底面圆的直径大于DE，

∴不能围成圆锥．

点拨：（1）由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．（2）题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径（圆锥底面圆的周长即为弧BC的长）,然后进行比较即可．

18. 解：（1）线段AB长度的最小值为4.

理由如下：

连接OP，如答图8所示.

答图8

∵AB切⊙O于P，

∴OP⊥AB.

取AB的中点C，

则AB=2OC；

当OC=OP时，OC最短，

即AB最短，

此时AB=4.

（2）设存在符合条件的点Q.

答图9

如答图9,设四边形APOQ为平行四边形,

∵∠APO=90°，

∴四边形APOQ为矩形，

又∵OP=OQ，

∴四边形APOQ为正方形，

∴OQ=QA，∠QOA=45°.

在Rt△OQA中，

根据OQ=2，∠AOQ=45°，

得Q点坐标为（，－）；

如答图10，设四边形APQO为平行四边形,

答图10

∵OQ∥PA，∠APO=90°，

∴∠POQ=90°，

又∵OP=OQ，

∴∠PQO=45°，

∵PQ∥OA，

∴PQ⊥y轴.

设PQ⊥y轴于点H，

在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，

得Q点坐标为（－，）．

∴符合条件的点Q的坐标为（－，）或（，－）．

 方法规律：解答本题运用了分类讨论思想.（1）如答图8，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是⊙O的切线，故△OPC是直角三角形，所以当OC与OP重合时，OC最短,即AB最短.（2）分两种情况：如答图9，当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（，－）;如答图10，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（－，）．