人教版九年级下册28.1 锐角三角函数随堂练习题

第28章 锐角三角函数 专项训练

专训1　求锐角三角函数值的常用方法

名师点金：

锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．

直接用锐角三角函数的定义

1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，

(第1题)

则tan B的值是(　　)

A.  　　　B.

C.  　　　D.

2．如图，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝，求sin C的值．

(第2题)

3．如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.

(1)求点B的坐标；

(2)求sin∠BAO的值．

(第3题)

利用同角或互余两角三角函数间的关系

4．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A＝(　　)

A．1  B.  C.  D.

5．若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)＝(　　)

A.  B.  C.  D.

6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．

巧设参数

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则tan B的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

8．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．

利用等角来替换

9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．

(第9题)

专训2　同角或互余两角的三角函数关系的应用

名师点金：

1．同角三角函数关系：sin2 α＋cos2α＝1，tan α＝.

2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1.

同角间的三角函数的应用

1．已知＝4，求的值．

2．若α为锐角，sin α－cos α＝，求sin α＋cos α的值．

余角间的三角函数的应用

3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是(　　)

A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)

B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1

C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1

D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1

4．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．

同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用

5．已知sin α·cos α＝(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.

6．已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求的值．

专训3　用三角函数解与圆有关问题

名师点金：

用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．

一、选择题

1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sin B＝(　　)

A.  B.  C.  D.

(第1题)

(第2题)

2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为(　　)

A．1  B.  C．3  D.

3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝.⊙O过B，C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为(　　)

A．3或5  B．5  C．4或5  D．4

4．如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°.下列四个结论：

(第4题)

①OA⊥BC；

②BC＝6 cm；

③sin∠AOB＝；

④四边形ABOC是菱形．

其中正确结论的序号是(　　)

A．①③　B．①②③④　C．②③④　D．①③④

二、填空题

5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.

(第5题)

(第6题)

6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.

7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos C的值为________．

(第7题)

(第8题)

8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.

三、解答题

9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tan B＝，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到.

(1)求证：AB为⊙C的切线；

(2)求图中阴影部分的面积．

(第9题)

10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.

(1)求证：AT是⊙O的切线；

(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．

(第10题)

11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.

(1)求证：DC＝DE；

(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长．

(第11题)

12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．

(第12题)

13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝.

求证：CB是⊙O的切线．

(第13题)

答案

1．C

2．解：∵AD⊥BC，∴tan ∠BAD＝.

∵tan ∠BAD＝，AD＝12，∴＝，∴BD＝9.

∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，

∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，

∴sin C＝＝.

3．解：(1)解方程组得

∴点B的坐标为(1，2)．

(第3题)

(2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C，由x＋＝0，解得x＝－3，

则A(－3，0)，∴OA＝3，

∴AB＝＝2，

∴sin ∠BAC＝＝＝，

即sin ∠BAO＝.

4．D　5.B　6.30°　7.B

8．解：∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，

即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形．

∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，

则＝，设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.

∴sin A＋sin B＝＋＝.

9．解：∵CD是斜边AB的中线，

∴CD＝AD＝BD.

∴∠DCB＝∠B.

∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，

∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.

在Rt△ACH中，AH＝2CH，

∴AC＝CH.∴sin B＝sin ∠CAH＝＝.

1．分析：本题可利用求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A，把原式化为关于的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由＝4，得到sin A与cos A之间的数量关系，代入式子中求值．

解：(方法1)原式＝＝.

∵＝4，∴原式＝＝.

(方法2)∵＝4，∴sin A＝4cos A.

∴原式＝＝＝.

2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．

解：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝，

即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝.

∴1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.

∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋＝.

又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.

∴sin α＋cos α＝.

3．C　点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1.

4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.

点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.

5．解：∵sin2α＋cos2α＝1，sin α·cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝.

∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝.

又∵sin α·cos α＝，

∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x2－x＋＝0.

点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0.

6．解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，

∴由求根公式，得

sin α＝＝.

∴sin α＝或sin α＝3(不符合题意，舍去)．

∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－＝.

又∵cos α＞0，∴cos α＝.

∴＝＝

＝|sin α－cos α|＝＝.

一、1.D

2．D　点拨：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠B＝∠ACD.∴cos B＝＝，∴AB＝.∴AC＝＝.

3．A　4.B

二、5.　6.　7.　8.

三、

(第9题)

9．(1)证明：如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tan B＝＝，∴BC＝2AC＝2.∴AB＝＝＝5，∴CF＝＝＝2.∴AB为⊙C的切线．

(2)解：S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝AC·BC－＝××2－＝5－π.

10．(1)证明：∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线．

(2)解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠TAC＝∠ACD，tan ∠TOA＝＝＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝x＝OA.∵AD＝AO－OD＝(－1)x，∴tan ∠TAC＝tan ∠ACD＝＝＝.

(第10题)

(第11题)

11．(1)证明：连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°.

又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE.

(2)解：设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x.在Rt△EAD中，∵tan ∠CAB＝，∴ED＝AD＝(3＋x)．由(1)知，DC＝(3＋x)．在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋＝(1.5＋x)2，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1.

12．解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：连接AE，如图，

∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC.

∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，

∴△ABC为等腰三角形．

(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE＝CE＝BC＝×12＝6.

在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8.

∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，

∴S△ABC＝AE·BC＝BD·AC，∴BD＝＝.

在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，

∴AD＝＝，∴sin ∠ABD＝＝＝.

(第12题)

(第13题)

13．证明：如图，连接OD，可得OB＝OD.

∵AB＝AD，∴AE垂直平分BD.

在Rt△BOE中，OB＝3，cos ∠BOE＝，∴OE＝.

∴CE＝OC－OE＝.

根据勾股定理得BE＝＝.

在Rt△CEB中，BC＝＝4.

∵OB＝3，BC＝4，OC＝5，∴OB2＋BC2＝OC2，

∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴CB为⊙O的切线．