初中数学人教版九年级下册27.3 位似一课一练

位似

第1课时　位似图形的概念及画法　[见A本P76]

1．下列四个命题中，属于真命题的是(　D　)

A．若＝m，则a＝m

B．若a>b，则am>bm

C．两个等腰三角形必定相似

D．位似图形一定是相似图形

2．如图27－3－1，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是(　B　)

A．1∶2　　　　　　B．1∶4

C．1∶5  D．1∶6

【解析】 ∵△DEF∽△ABC，∴＝＝＝，故选B.

图27－3－1

图27－3－2

3．如图27－3－2，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是(　A　)

A．点B　　　　　　　　B．点C

C．点D  D．点A

【解析】 根据位似图形的性质，连接对应点E与M，F与N，H与K，看它们的交点是哪一个，易知它们相交于点B，则B点就是它们的位似中心．

4．如图27－3－3，正五边形 FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(　B　)

图27－3－3

A．2DE＝3MN  B．3DE＝2MN

C．3∠A＝2∠F  D．2∠A＝3∠F

【解析】 位似图形是相似图形，所以对应边的比都等于相似比，则有＝＝，所以3DE＝2MN.

5．如图27－3－4，四边形ABCD的周长为12 cm，它的位似图形为四边形A′B′C′D′，位似中心为O，若OA∶AA′＝1∶3，则四边形A′B′C′D′的周长为(　B　)

图27－3－4

A．12 cm  B．24 cm

C．12 cm或24 cm  D．以上都不对

【解析】 ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，∴＝，

又∵＝，∴设OA＝k，则AA′＝3k，

∴OA′＝AA′－OA＝3k－k＝2k，

∴＝＝＝，

即A′D′＝2AD，

同理A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，C′D′＝2CD，

∴四边形A′B′C′D′的周长为A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＝24  cm.

6．如图27－3－5，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20  cm，到屏幕的距离为60  cm，且幻灯片中图形的高度为6  cm，则屏幕上图形的高度为__18__cm.

图27－3－5

7．如图27－3－6，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是____．

图27－3－6

8．如图27－3－7，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且AA′＝OA′，那么五边形ABCDE是将五边形A′B′C′D′E′放大到原来的__2__倍，S五边形ABCDE＝__4__S五边形A′B′C′D′E′.

图27－3－7

【解析】 因为AA′＝OA′，所以＝，所以五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为2∶1，面积比为4∶1.

9．如图27－3－8，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似图形．

图27－3－8

(1)沿AO方向放大为原图的2倍；

(2)沿OA方向放大为原图的2倍．

解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′符合题意；

(2)如图所示，四边形A″B″C″D″符合题意．

10．关于位似图形的表述，下列命题正确的是__②③__.(只填序号)

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

11．图27－3－9中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．

图27－3－9

(1)以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；

(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．

【解析】 利用位似图形的性质和旋转解决问题．

解：(1)如图中△A′B′C′；

(2)如图中△A″B′C″，边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积为S＝π×(22＋42)＝π×20＝5π.

12如图27－3－10，正三角形ABC的边长为3＋.

(1)如图，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；

(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；

图27－3－10

解：(1)如图，正方形E′F′P′N′即为所求．

(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x，

∵△ABC为正三角形，

∴AE′＝BF′＝x.

∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，

∴x＋x＋x＝3＋，

∴x＝，即x＝3－3.

第2课时　位似图形的坐标变化规律　[见B本P76]

1．如图27－3－11，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B′的坐标是(　D　)

图27－3－11

A．(3，2) 

B．(－2，－3)

C．(2，3)或(－2，－3) 

D．(3，2)或(－3，－2)

2．如图27－3－12，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是(　A　)

图27－3－12

A．(－4，－3)  B．(－3，－3)

C．(－4，－4)  D．(－3，－4)

3．如图27－3－13，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　D　)

图27－3－13

A．(，n)  B．(m，n)

C．(m，)  D．(，)

【解析】 ∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′点A，B，A′，B′均在图中的格点上，A点坐标为(4，6)，B点坐标为(6，2)，A′点坐标为(2，3)，B′点坐标为(3，1)，

所以若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(，)．

故选D.

4.在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(　D　)

A．(－2，1) 

B．(－8，4)

C．(－8，4)或(8，－4) 

D．(－2，1)或(2，－1)

【解析】 根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．

根据题意得：

则点E的对应点E′的坐标是(－2，1)或(2，－1)．

5．已知四边形ABCD在直角坐标系中各顶点的坐标为A(6，0)，B(－2，－6)，C(－8，2)，D(0，8)，现将四边形ABCD以坐标原点为位似中心作四边形A1B1C1D1，且使四边形ABCD的周长是四边形A1B1C1D1的4倍，则C1的坐标为(　D　)

A.  B.

C.  D.或

【解析】 相似图形的周长比等于相似比，根据图形位似变换的坐标变化规律，知C1的坐标为或，即或，故选D.

6．如图27－3－14，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__(9，0)__．

图27－3－14

【解析】 连接C′C，A′A，并延长得它们的交点就是位似中心．作图后观察得交点坐标为(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．

7．如图27－3－15，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是__(－2x，－2y)__．

图27－3－15

8．在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于，则点A′的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．

【解析】 由关于原点位似的两图形在坐标平面内对应点的坐标变化规律知A′(2×2，2×3)或A′(－2×2，－2×3)，∴点A′的坐标为(4，6)或(－4，－6)．

9．[2013·泰州]如图27－3－16，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为

(－1，0)，则点B′的坐标为__(，－4)__．

图27－3－16

10．如图27－3－17，△ABC与△DOE是位似图形，且A(0，3)，B(－2，0)，C(1，0)，E(6，0)，则D点的坐标为__(4，6)__，△ABC与△DOE的位似中心M的坐标为__(－4，0)__．

图27－3－17

【解析】 位似中心M为直线AD与x轴的交点．

11．如图27－3－18，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．

图27－3－18

(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1.

(2)以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.

解：如图，(1)△A1B1C1 即为所求；

(2)△A2B2C2 即为所求．

12．如图27－3－19，△ABC在方格纸中．

(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A点坐标为(2，3)，C点坐标为(6，2)，并求出B点坐标；

(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；

(3)计算△A′B′C′的面积S.

图27－3－19

解：(1)将A点向下平移3个单位，再向左平移2个单位得坐标原点，即可建立平面直角坐标系，此时B的坐标为(2，1)，如图．

(2)求出放大后的△A′B′C′的三点坐标分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)，顺次连接即得△A′B′C′，如图．

(3)S＝A′B′·(xC′－xA′)＝×(6－2)×(12－4)＝16.

13．如图27－3－20，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是(　D　)

图27－3－20

A．－a  B．－(a＋1)

C．－(a－1)  D．－(a＋3)

【解析】 可以分别过点B和B′向x轴作垂线BM和B′N，分别交x轴于点M、N，则△BMC∽△B′NC，∵点B′的横坐标是a，则CN＝1＋a，∴MC＝(1＋a)，∴点M的横坐标是－1－(1＋a)＝－(a＋3)，则点B的横坐标也是－(a＋3)．