初中人教版第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定同步训练题

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相似三角形
27．2.1　相似三角形的判定
第1课时　平行线分线段成比例定理　[见B本P69]

1．如图27－2－1，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　B　)
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【解析】 ∵a∥b∥c，∴＝，∴＝，∴DF＝4.5，∴BF＝BD＋DF＝7.5.

图27－2－1

图27－2－2
2．如图27－2－2，若l1∥l2，那么以下比例式中正确的是(　D　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．如图27－2－3，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是(　A　)

图27－2－3
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4. 如图27－2－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，＝，则EC的长是(　B　)

图27－2－4
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【解析】 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
∵DE∥BC，∴＝，
∵AE＝6，∴＝，解得EC＝8，则EC的长是8.
5．如图27－2－5所示，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为(　B　)

图27－2－5
A．9 B．6 C．3 D．4
【解析】 ∵DE∥BC，∴＝.∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴＝，∴CE＝6，故选B.
6．如图27－2－6，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　A　)

图27－2－6
A．AB2＝BC·BD
B．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BC
D．AB·AD＝AD·CD
【解析】 由△ABC∽△DBA可得对应边成比例，即＝，再根据比例的性质可知AB2＝BC·BD，故选A.
7．如图27－2－7，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的值为(　B　)
A. B. C. D.

图27－2－7

图27－2－8
8．如图27－2－8，已知DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是(　D　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【解析】 A正确，∵DE∥AB，DF∥BC，
∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF.
∵DF∥BC，∴＝，∴＝；
B正确，∵DE∥AB，∴＝，
又DF∥BC，∴＝，∴＝；
C正确，∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE.
∵DE∥AB，∴＝，∴＝；
D不正确，∵DF∥BC，∴＝，
又DE∥AB，∴＝，∴＝，
又BE＝DF，∴＝.
9．如图27－2－9，已知AC∥DB，OA∶OB＝3∶5，OA＝9，CD＝32，则OB＝__15__，OD＝__20__．
【解析】 ∵＝，∴OB＝OA＝×9＝15.
设OD＝x，则OC＝32－x.
∵AC∥DB，∴＝，∴＝，解得x＝20.

图27－2－9

图27－2－10
10．如图27－2－10，已知l1∥l2∥l3，AM＝3 cm，BM＝5 cm，CM＝4.5 cm，EF＝12 cm，则DM＝__7.5__cm，EK＝__4.5__cm，FK＝__7.5__cm.
【解析】 ∵l1∥l2∥l3，∴＝，
∴＝，∴DM＝7.5 cm.
∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，
∴EK＝4.5 cm，
∴FK＝EF－EK＝12－4.5＝7.5(cm)．

11. 如图27－2－11，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB ＝ 3∶5，那么CF∶CB等于(　A　)

图27－2－11
A. 5∶8 B．3∶8
C. 3∶5 D．2∶5
【解析】 ∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8，
∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
12．如图27－2－12，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(　C　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝

图27－2－12

图27－2－13
13．如图27－2－13，已知FG∥BC，AE∥GH∥CD，求证：＝.
【解析】 观察图形，我们会发现AE∥GH∥CD，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得＝；由FG∥BC，知它具备了定理推论中的“A”型的基本图形，可推得＝，从而可证得＝.
证明：∵AE∥GH∥CD，∴＝.
∵FG∥BC，∴＝，∴＝.
14．如图27－2－14，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：＝.
证明：∵AB∥MN，∴＝，
又∵BC∥NG，∴＝，∴＝.

图27－2－14

图27－2－15
15．如图27－2－15，▱ABCD中，E在CD延长线上，BE交AD于F.若AB＝3，BC＝4，DF＝1，求DE的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC.
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
又∵AF＝AD－DF＝BC－DF＝3，
∴＝，∴DE＝1.


16．如图27－2－16，已知AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E.
求证：＝.

图27－2－16
证明：∵AD∥CE，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE.
又∵∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC.
又∵CE∥AD，
∴＝，∴＝.


第2课时　相似三角形判定定理1、2　[见A本P71]

1．如图27－2－17，在△ABC中，DE∥BC，若＝，DE＝4 cm，则BC的长为(　B　)

图27－2－17
A．8 cm B．12 cm
C．11 cm D．10 cm
【解析】 ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∴＝.
∵＝，∴＝，∴＝，
∴BC＝12 cm，选择B.
2. 能说明△ABC∽△A′B′C′的条件是(　D　)
A.＝≠
B.＝，∠A＝∠C′
C.＝，且∠B＝∠A′
D.＝，且∠B＝∠B′
3．如图27－2－18，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(　B　)


图27－2－18
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
【解析】 两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．如图27－2－19，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有(　A　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解析】 点D，E分别是AB，AC的中点，所以由中位线定理得DE∥BC，且DE＝BC，①正确；因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，②正确；由②得＝，③正确．故选A.

图27－2－19

图27－2－20
5．如图27－2－20，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是(　B　)
A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC
C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC
【解析】 ∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE，
∴＝，故结论B错误．
∵AE∥BC，∴△FAE∽△FBC，
∴＝，即＝，∴＝，
∴＝，即FA∶AB＝FE∶EC，故结论C正确．而A，D显然正确，∴应选B.
6．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE长为__6或8__．
【解析】 (1)当△AED∽△ABC时，此时图形为(a)，可得DE＝6；(2)当△AED∽△ACB时，此时图形为(b)，可得DE＝8.

7．如图27－2－21，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求的值；(2)求BC.

图27－2－21
解：(1)∵AD＝4，DB＝8，
∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，
∴＝＝.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.
∵DE＝3，∴＝，∴BC＝9.
8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.

图27－2－22
【解析】 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF.
解：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
9．如图27－2－23，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．

图27－2－23
(1)求证：△DEF∽△ABC；
(2)图中还有哪几个三角形与△ABC相似？
解：(1)证明：∵D，F分别是△ABC的边BC，BA的中点，
∴DF＝AC，
同理EF＝CB，DE＝AB，
则＝＝，
∴△DEF∽△ABC；
(2)∵E，F分别是△ABC的三边CA，AB的中点，
∴EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC.
同理，△FBD∽△ABC，△EDC∽△ABC.
∴图中与△ABC相似的三角形还有△AFE，△FBD，△EDC.
10．如图27－2－24，△ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且AB·AC＝BD·CE.
求证：△ABD∽△ECA.

图27－2－24
证明：∵△ABC是等边三角形(已知)，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD＝∠ACE(等角的补角相等)．
又AB·AC＝BD·CE(已知)，即＝，
∴△ABD∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．

11．如图27－2－25，已知正方形ABCD中，F为BC上一点，且BF＝3FC，E为DC的中点．求证：△ADE∽△ECF.

图27－2－25
证明：∵正方形ABCD中，E为CD中点，
∴CE＝ED＝CD＝AD.
∵BF＝3FC，
∴FC＝BC＝AD＝CE.
∴＝＝，即＝.
∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ADE∽△ECF.
12．如图27－2－26，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，请在图中找出与∠ADE相等的角，并说明理由．

图27－2－26
【解析】 由AB·AD＝AE·AC得＝，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE相等的角．
解：∠C＝∠ADE，理由如下：
∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC.
∵AB·AD＝AE·AC，
∴＝，∴△ABC∽△AED，
∴∠ADE＝∠C.

13. 如图27－2－27，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．

图27－2－27
解：△ABC∽△DBA.
理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x，
根据勾股定理，AB＝＝x，
AC＝＝x，
AD＝＝x，
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DBA.


第3课时　相似三角形判定定理3　[见B本P71]

1．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(　A　)

图27－2－28
A．都相似 B．都不相似
C．只有(1)相似 D．只有(2)相似
【解析】 两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似．
2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF不相似的是(　C　)
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，
DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
3．如图27－2－29，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为(　C　)

图27－2－29
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝＝＝10.在△ADE和△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝5.
4．如图27－2－30所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为(　C　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 图中△ABC与△ACD有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对应角相等，①②符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，④符合条件，所以补充①②④能判定△ABC∽△ACD.

图27－2－30

图27－2－31
5．如图27－2－31，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，则AD的长为____．
6. [2013·安顺]如图27－2－32，在▱ABCD中，点E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝__3∶5__．

图27－2－32


图27－2－33
7．如图27－2－33，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE∽△ACB：__∠D＝∠C或∠E＝∠B或＝__．
【解析】 由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠CAB.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB.
8. [2013·六盘水]如图27－2－34，添加一个条件：__∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝__，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)
【解析】 由题意得，∠A＝∠A(公共角)，
则可添加：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，利用两角法可判定△ADE∽△ACB，添加＝也可以．

图27－2－34
　　　
图27－2－35
9. 如图27－2－35，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE.
10．如图27－2－36，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.
(1)求证：△DQP∽△CBP；
(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．

图27－2－36
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AQ∥BC，∴∠Q＝∠PBC，∠PDQ＝∠C，
∴△DQP∽△CBP；
(2)∵△DQP≌△CBP，
∴DP＝CP＝CD.∵AB＝CD＝8，∴DP＝4.


图27－2－37
11.如图27－2－37所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝(　D　)
A．1∶4　　B．1∶3　　C．2∶3　　D．1∶2
【解析】 在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴＝，
∵O为对角线的交点，∴DO＝BO，
又∵E为OD的中点，∴DE＝DB，
则DE∶EB＝1∶3，∴DF∶AB＝1∶3，
∵DC＝AB，∴DF∶DC＝1∶3，∴DF∶FC＝1∶2.


图27－2－38
12．如图27－2－38，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于(　B　)
A. 　　　B.
C. 　　　D.
【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，
∴△ADC∽△BDE，∴＝，
∵AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，
∴BD＝5，DC＝3，
∴DE＝＝.
故选B.
13．如图27－2－39，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.

图27－2－39

第13题答图
解：(1)证明：∵∠A与∠B是所对的圆周角，
∴∠A＝∠B，
又∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE；
(2)证明：如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB.

14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A，B，G重合)，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图(1)，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2；

图27－2－40
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以图(2)中点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
解：(1)证明：如图(1)，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.
∵FQ是⊙O的直径，∴∠FDQ＝90°，
∴∠QFD＋∠Q＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF，
∴＝，∴OE·OP＝OF2＝r2.

图(1)

图(2)
(2)(1)中的结论成立．
理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.
∵FM是⊙O的直径，∴∠FCM＝90°，
∴∠M＋∠CFM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE，
∴＝，∴OE·OP＝OF2＝r2.