初中数学青岛版九年级上册4.1 一元二次方程第2课时导学案

第二十一章  一元二次方程

21.3  实际问题与一元二次方程

第2课时 平均变化率问题与一元二次方程

学习目标：1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.

2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.

重点：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题.

难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.

一、知识链接

小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？

二、要点探究

探究点1：平均变化率问题与一元二次方程

探究两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600 元.哪种药品成本的年平均下降率较大？

典例精析

例1  前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？

注意：下降率不可为负，且不大于1.

变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）

例2  为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

注意：增长率不可为负，但可以超过1.

问题  你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？

方法归纳：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”).

例3  某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

探究点2：营销问题与一元二次方程

练一练 

1.假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，可卖100件.

(1)此时的利润w=     元； 

(2)若售价涨了1元，每件利润为     元，同时少卖了10件，销售量为     件，利润w=     元；

(3)若售价涨了2元，每件利润为     元，同时少卖了20件，销售量为     件，利润w=     元；

(4)若售价涨了3元，每件利润为     元，同时少卖了30件，销售量为     件，利润w=     元；

(5)若售价涨了x元，每件利润为     元，同时少卖了     件，销售量为     件，利润w=            元.

想一想 若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？

变式训练

假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？

注意：题目中有限定条件时，要注意取舍.

例4  某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

变式训练

增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

方法归纳： 用一元二次方程解决营销问题的一般步骤

1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；

2.根据利润=销量×单件利润列方程；

3.解方程；

4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍.

5.作答.

三、课堂小结

1.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程(     )

A.500(1+2x)=720       B.500(1+x)2=720         C.500(1+x2)=720          D.720(1+x)2=500

2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为              .

3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.

4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？

5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.

能力提升

为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．

（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？

参考答案

自主学习

知识链接

75×（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次数学成绩是108分.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：平均变化率问题与一元二次方程

探究  解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=3000，解方程，得x1≈0.225， x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600，解方程，得y1≈0.225， y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同.

典例精析

例1  解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5000(1-x)2= 3000，解方程，得x1≈0.225=22.5%，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.

变式：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得 解这个方程，得 （舍去），

答：每次降价的百分率为29.3%.

例2  解：设增长率为x，根据题意，得20（1+x）2=24.2.解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．

答：增长率为10%.

例3  解：设这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x) +200(1+x)2=950.整理方程，得4x2+12x-7=0，这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%．

答：这个增长率为50%.

探究点2：营销问题与一元二次方程

练一练  （1）100   （2）2   90   180  （3）3  80  240

（4）4  70  280  （5）(1+x)  10x   (100-10x)   (1+x)(100-10x)

想一想  解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4,x2=5.

即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.

变式训练

解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得x1=4,x2=12.∵售价不高于成本价的2.5倍，即x+12≤2.5×8.∴x≤8.∴x=4.即每千克糖应涨价4元.

例4  解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200， 整理得x2-30x+200=0.

 解方程得x1=10，x2=20.

 答：每件衬衫应降价10元或20元.

变式训练

解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得，x2-30x+200=0. 解方程得x1=10，x2=20. 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.

答：每件衬衫应降价20元.

当堂检测

1.B  2.2(1+x)+2(1+x)2=8

3.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得7200(1+x)2=8712，系数化为1得(1+x)2=1.21.直接开平方得，1+x=1.1，1+x=-1.1.则x1=0.1= 10%，x2=-2.1(舍去).

答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.

4.解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意.

当x=10时，50+x =60，500－10 x=400；当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200.

答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个.

5.解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得5(1－x)2=3.2，解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）∴平均每次下调的百分率为20%；

（2）解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.

能力提升

解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意得解得

所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．

（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．整理方程，得x2-65x+1026=0．解得x1=27，x2=38．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x2=38（舍），所以x=27．

答：该设备的销售单价应是27 万元．