人教版21.1 一元二次方程第1课时导学案

第二十一章  一元二次方程

21.3  实际问题与一元二次方程

第1课时 传播问题与一元二次方程

学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.

2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.

3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.

重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.

难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.

一、知识链接

1.解一元二次方程的四种解法是什么？

2.列方程解应用题的一般步骤是什么？

二、要点探究

探究点1：传播问题与一元二次方程

探究1  有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?

想一想  如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?

典例精析

例1  某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?

讨论1  在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别？

讨论2  解决这类传播问题有什么经验和方法？

方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．

(2)“设”是指设未知数；

(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程；

(4)“解”就是求出所列方程的解；

(5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解．

例2  某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？

练一练 

某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？

方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.

【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？

方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.

例3  一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？

方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.

三、课堂小结

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1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（    ）

A. x2=1980             B. x(x+1)=1980          C. x(x-1)=1980             D. x(x-1)=1980

2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（     ）

A. 1+x+x(1+x)=73        B. 1+x+x2=73          C. 1+x2=73              D. (1+x)2=73

3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（      ）

A. 10           B. 9              C. 8               D. 7

4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.

5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？

6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.

(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？

(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？

7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.

参考答案

自主学习

知识链接

1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：传播问题与一元二次方程

探究1  解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10,  x2=-12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.

想一想  第1种做法： 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.

第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.

典例精析

例1  解：设每个支干长出x个小分支，则  1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11,  x2=-12（不合题意，舍去）.  答：每个支干长出11个小分支.

讨论1  每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.

讨论2  （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；

（2）可利用表格梳理数量关系；

（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.

例2  解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得解得x1=6,  x2=-5（舍去）.  ∴x=6,   答：共有6个班级参赛．

练一练  解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得解得x1=5,  x2=-4（舍去）. ∴x=5.答：共有5个人参加聚会．

【变式题】解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得解得x1=9,  x2=-8（舍去）. ∴x=9.答：共有9个班级参赛．

例3  解：设这个两位数个位数字为x ，则十位数字为(x－3)，根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x1=5,  x2=6.∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36.

当堂检测

1.D   2.B   3.D   4.10         

5.   解：初三有x个班，根据题意列方程，得化简，得x2-x-12=0,解得x1=4,  x2=-3（舍去）.

答：初三有4个班.

6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19,  x2=-21（舍去）.∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.

（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.

7.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，解得x1=2,  x2=3.当x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.答：原来的两位数是23或32.