初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法第2课时学案设计

第二十一章  一元二次方程

21.2.1  配方法

第2课时  配方法

学习目标：1.了解配方法的概念.

2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.

3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

重点：运用配方法解一元二次方程及解决有关问题.

难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

一、知识链接

1.用直接开平方法解下列方程.

(1)9x2=1                (2)(x－2)2=2.

2.   你还记得完全平方公式吗？填一填：

(1) a2+2ab+b2=(      )2；

(2) a2－2ab+b2=(      )2.

3.下列方程能用直接开平方法来解吗?

(1) x2+6x+9 =5           (2)x2+4x+1=0

二、要点探究

探究点1：用配方法解方程

试一试  解方程： x2+6x+9 =5

填一填1  填上适当的数或式，使下列各等式成立.

(1)x2+4x+     = ( x +     )2

(2)x2－6x+     = ( x－     )2

(3)x2+8x+     = ( x+     )2

(4)x2－x+     = ( x－     )2

你发现了什么规律？

要点归纳：配方的方法：二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.

填一填2  x2+px+(    )2=(x+   )2

想一想  怎样解方程x2+4x+1=0？

问题1  方程x2+4x+1=0怎样变成(x+n)2=p的形式呢？

问题2  为什么在方程x2+4x=－1的两边加上4？加其他数行吗？

要点归纳：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.

配方法解方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．

典例精析

例1  (教材p7例1)解下列方程：

(1) x2－8x+1=0；         (2) 2x2+1=3x；         (3) 3x2－6x+4=0.

练一练  解下列方程：

(1)x2+8x+4=0；      (2)4x2+8x=-4；     (3)-2x2+6x-8=0.

归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式：

①当p>0时，则，方程的两个根为，.

②当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根x1=x2=－n.

③当p<0时，则方程(x+n)2=0无实数根.

思考1  用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？

思考2  用配方法解一元二次方程的一般步骤？

探究点2：配方法的应用

例2  试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.

练一练  应用配方法求最值.

(1) 2x2－4x+5的最小值；        (2)－3x2 + 5x +1的最大值.

例3  若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状.

归纳总结：

配方法的应用

三、课堂小结

1.解下列方程.

（1）x2+4x－9=2x－11；        （2）x(x+4)=8x+12；

（3）4x2－6x－3=0；           （4）3x2+6x－9=0.

2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.

3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.

4.若，求(xy)z的值.

5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2－ab－ac－bc=0，试判断△ABC的形状.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.解：(1)    (2)

2.a+b  a-b

3.解：(1)可以，方程可以转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x+2)2=3的形式，再利用开平方法求解.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：用配方法解方程

试一试  解：方程变形为(x+3)2=5.开平方，得，∴.

填一填1   (1)22     2   (2)32     3   (3)42     4   (4)      

规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方.

填一填2        

问题1    解：移项，得x2+4x=-1.两边都加上4，得x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3.

问题2    解：∵二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同时加上4.加其他的数不行.

典例精析

例1   解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得，∴.

(2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得，配方，得，即.直接开平方，得，∴.

(3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得，配方，得，即.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．

练一练   解：(1)移项，得x2+8x=－4，配方，得x2+8x+42=－4+42，即(x+4)2=12.直接开平方，得，∴.

(2)整理，得x2+2x+1=0，配方，得(x+1)2=0.直接开平方，得，∴.

(3)整理，得x2-3x=－4，配方，得，∴原方程无实数根.

思考1    解：移项时需注意改变符号.

思考2    解：①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.

探究点2：配方法的应用

例2   解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1.因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.k2－4k＋5 的值必定大于零.

练一练   (1)解：原式 = 2(x - 1)2 +3，当x =1时，有最小值3.

(2)解：原式= -3(x -1)2 - 4，当x =1时，有最大值-4.

例3   解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.       

当堂检测

1.解：(1)此方程无解； (2)； (3)； (4)

2.解：根据题意得x2+1=2x+4，整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3.

3.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1=－(x+)2－.∵－(x+)2≤0，∴－(x+)2－＜0.∴－x2－x－1的值总是负数.当x=－时，－x2－x－1有最大值－.

4.解：对原式配方，得，由代数式的性质可知，∴∴

5. 解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.