人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理单元测试随堂练习题

第十七章 勾股定理 单元测试卷

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每题3分,共30分)

1.下列几组数中,不能作为直角三角形三边长度的是(　　)

A.1.5,2,2.5  B.3,4,5  C.5,12,13 D.20,30,40

2.在平面直角坐标系中,点P(3,4)到原点的距离是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.±5

3.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是(　　)

A.8 cm B.5 cm C.5.5 cm D.1 cm

4.已知四个三角形分别满足下列条件:①一个内角等于另两个内角之和;②三个内角度数之比为3∶4∶5;③三边长分别为7,24,25;④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.已知直角三角形两边的长分别为3和4,则此三角形的周长为(　　)

A.12  B.7+  C.12或7+   D.以上都不对

6.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN的长为(　　)

A.   B.   C.    D.

7.如图,直线l上有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5和11,则b的面积为(　　)

A.4 B.16 C.22 D.55

8.如图是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是30 cm,每个台阶的高度都是15 cm,则A,B两点之间的距离等于(　　)

A.195 cm B.200 cm C.205 cm D.210 cm

9.如图是一个圆柱形的饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(　　)

A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13

10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D点,M,N分别是AC,BC上的动点,且∠MDN=90°,下列结论:①AM=CN;②四边形MDNC的面积为定值;③AM2+BN2=MN2;④NM平分∠CND.其中正确的是(　　)

A.①②③  B.①②④  C.①③④ D.①②③④

二、填空题(每题3分,共30分)

11.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,BC=24,则AC的长为__________.

12.命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是

__________. 

13.在△ABC中,若AB=13,BC=12,AC=5,则△ABC的面积为

__________. 

14.已知△ABC是等边三角形,AB=4 cm,则BC边上的高

AD=__________. 

15.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为__________. 

16.如图,在平面直角坐标系中,将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为__________.

17.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为__________.

18.如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是__________.

19.如图,圆柱形容器高18 cm,底面周长为24 cm,在容器内壁离容器底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿2 cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距

离为cm.

20.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300 m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直走400 m到达梅花阁C,则点C的坐标是_________.

三、解答题(26,27题每题10分,其余每题8分,共60分)

21.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AD=12,BD=16,CD=5.

(1)求△ABC的周长;

(2)判断△ABC是否是直角三角形.

22.如图,在一次夏令营活动中,小明坐车从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了100 km到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了100 km到达目的地C点,求出A、C两点之间的距离.

23.若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状.

24.“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN上限速60千米/时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由(参考数据:≈1.41,≈1.73).

25.如图,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1 cm的速度移动;点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动,如果点P,Q同时出发,那么过3 s时,△BPQ的面积为多少?

26.如图,在梯形纸片ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=30°,折叠纸片使BC经过点D,点C落在点E处,BF是折痕,且BF=CF=8.求AB的长.

27.如图,在一张长为7 cm,宽为5 cm的长方形纸片上,剪下一个腰长为4 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点和长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),求剪下的等腰三角形的面积.

参考答案

一、1.【答案】D　2.【答案】C　3.【答案】A　

4.【答案】C　    5.【答案】C

6.【答案】C　

解：根据等腰三角形的性质和勾股定理求出等腰三角形BC边上的高是4,再利用面积法求MN的长.

7.【答案】B　8.【答案】A　9.【答案】A

10.【答案】A　

解：∵∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°.∴AD=CD=BD=AB.

∵∠MDN=90°,∠ADC=90°,

∴∠ADM=∠CDN.

在△AMD和△CND中,

∵∴△AMD≌△CND(ASA),∴AM=CN,DM=DN,S△AMD=S△CND,∴CM=BN,四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S△ADC,为定值.∵CM2+CN2=MN2,∴BN2+AM2=MN2.当MN∥AB时,NM才平分∠CND.∴正确的是①②③.故选A.

二、【答案】11.7

12.【答案】到角两边距离相等的点在角的平分线上

13.【答案】30　14.【答案】2 cm

15.【答案】等腰直角三角形　

解：由题意知:

∴

∴△ABC为等腰直角三角形.

16.【答案】(10,3)

17.【答案】()n-1

18.【答案】　

解：在网格中求三角形的高,应借助三角形的面积求解.以AC,AB,BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1,1,,因此△ABC的面积为2×2-1-1-=;用勾股定理计算出BC的长为,因此BC 边上的高为.

19.【答案】20

20.【答案】(400,800)　

解：如图,连接AC.由题意可得OA=500 m,AB=300 m,BC=400 m.在△AOD和△ACB中,AD=AB,∠ODA=∠ABC=90°,OD=CB,∴△AOD≌△ACB(SAS),∴AC=AO=500 m,∠CAB=∠OAD.∵B,A,O在一条直线上,∴C,A,D也在一条直线上,∴CD=AC+AD=800 m,∴C点坐标为(400,800).

三、21.解:(1)∵AD⊥BC,

∴△ABD和△ACD均为直角三角形.

∴AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+DC2.

∴AB=20,AC=13.

∴△ABC的周长为20+13+16+5=54.

(2)由(1)知

AB=20,AC=13,BC=21,∵AB2+AC2=202+132=569,BC2=212=441,∴AB2+AC2≠BC2.∴△ABC不是直角三角形.

22.解:∵AD∥BE,

∴∠ABE=∠DAB=60°.

又∵∠CBF=30°,

∴∠ABC=180°-∠ABE-∠CBF=180°-60°-30°=90°.

在Rt△ABC中,AB=100 km,BC=100

 km,∴AC===200(km),

∴A、C两点之间的距离为200 km.

23.解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

∴a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,

∴a=3,b=4,c=5.

∵32+42=52,即a2+b2=c2,

∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形.

24.解:此车没有超速.理由如下:如图,过C作CH⊥MN于H,

∵∠CBH=60°,∴∠BCH=30°,又BC=200米,∴BH=BC=100

米,∴CH==100米.

∵∠CAH=45°,∠CHA=90°,

∴AH=CH=100米.

∴AB=100-100≈73(米).

∴73÷5=(米/秒).

又∵60千米/时=米/秒,<,∴此车没有超速.

25.解:设AB=3x cm,则BC=4x cm,

AC=5x cm,

∵△ABC的周长为36 cm,

∴AB+BC+AC=36 cm,

即3x+4x+5x=36,

解得x=3,

∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm.

∵AB2+BC2=AC2,

∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°.

过3 s时,BP=9-3×1=6(cm),

BQ=2×3=6(cm),

∴S△BPQ=BP·BQ=×6×6=18(cm2).

26.解:∵BF=CF=8,∠C=30°,

∴∠FBC=∠C=30°,∴∠DFB=60°.∵BE与BC关于BF对称,

∴∠DBF=∠FBC=30°,

∴∠BDC=90°.∴DF=BF=4,

∴BD===4.　

∵∠A=90°,AD∥BC,∴∠ABC=90°,

∴∠ABD=30°,∴AD=BD=2,

∴AB===6.

27.解:分三种情况计算:

(1)如图①,当AE=AF=4 cm时,则S△AEF=AE·AF=×4×4=8(cm2);

(2)如图②,当AE=EF=4 cm时,则BE=5-4=1(cm),BF== cm,∴S△AEF=·AE·BF=×4×=2(cm2);

(3)如图③,当AE=EF=4 cm时,则DE=7-4=3(cm),DF== cm,∴S△AEF=AE·DF=×4×=2(cm2).故剪下的等腰三角形的面积为8 cm2或2 cm2或2 cm2.