信息技术选修6 开源硬件项目设计2.1.2 设计教学设计

这是一份信息技术选修6 开源硬件项目设计2.1.2 设计教学设计，共9页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。

前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.
课程目标
1.了解弧度制,明确1弧度的含义.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.
数学学科素养
1.数学抽象：理解弧度制的概念；
2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；
3.直观想象：区域角的表示；
4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；
难点：弧度制概念的理解．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本172-174页，思考并完成以下问题
1． 1弧度的含义是？
2．角度值与弧度制如何互化？
3．扇形的弧长公式与面积公式是？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．度量角的两种单位制
(1)角度制
①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的1360．
(2)弧度制
①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
零
负数
正数
3.角度制与弧度制的转算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
5．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：
(1)弧长公式：l＝ αr ．
(2)扇形面积公式：S＝ 12lr ＝ 12αr2 ．
四、典例分析、举一反三
题型一 角度制与弧度制的互化
例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)－450°；(2)eq \f(π,10)；(3)－eq \f(4π,3)；(4)112°30′.
【答案】（1）－eq \f(5π,2) rad；(2) 18°；(3) －240°；(4) eq \f(5π,8) rad.
【解析】(1)－450°＝－450×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(5π,2) rad；
(2)eq \f(π,10) rad＝eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝18°；
(3)－eq \f(4π,3) rad＝－eq \f(4π,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×eq \f(π,180) rad＝eq \f(5π,8) rad.
解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）
跟踪训练一
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5).
【答案】（1）eq \f(π,9) rad；（2）－eq \f(π,12) rad；（3）105°；（4）－396°.
【解析】(1)20°＝eq \f(20π,180) rad＝eq \f(π,9) rad.
(2)－15°＝－eq \f(15π,180) rad＝－eq \f(π,12) rad.
(3)eq \f(7π,12) rad＝eq \f(7,12)×180°＝105°.
(4)－eq \f(11π,5) rad＝－eq \f(11,5)×180°＝－396°.
题型二 用弧度制表示角的集合
例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
【答案】（1）eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z))))；
（2）eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))；（3）eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z)))).
(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).
(3)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
解题技巧：(表示角的集合注意事项)
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练二
1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
① ②
【答案】(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(αeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq \f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).
【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
(2)如题图②，以OA为终边的角为eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜α＜\f(π,3)＋2kπ，))k∈Z))，M2＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(αeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(αeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq \f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).
题型三 扇形的弧长与面积问题
例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．
【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，
依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq \f(20－2r,r).
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)·eq \f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r
＝－(r－5)2＋25(0∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，
故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．
解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq \f(1,2)|α|r2和S＝eq \f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
跟踪训练三
1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为( )
A.480 cmB.240 cmC.8π3 cm D.4π3 cm
【答案】C
【解析】:80°=π180×80=4π9,
又r=6 cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm).
2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.
【答案】12π-93
【解析】S扇形AOB=12×120π180×62=12π,
S△AOB=12×6×6×sin 60°=93,
故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-93.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
5.1.2 弧度制
1.弧度制 例1 例2 例3

2.弧度制与角度制转化
3.扇形弧长与面积公式
七、作业
课本175页练习及175页习题5.1.
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度
0
π6
π4
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
2π3
3π4
5π6
π
eq \f(3π,2)
2π