人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数教案，共9页。教案主要包含了温故知新，引入新课，达标检测，小结，作业等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第3节，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；
2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
多媒体
课程目标
学科素养
理解幂函数的概念，会画幂函数的图象;
B.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；
C.能应用幂函数性质解决简单问题。
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1.数学抽象：幂函数的概念；
2.逻辑推理：由五个特殊幂函数的图象归纳幂函数的图象与性质；
3.数学运算：求幂函数的解析式及比较大小；
4.直观想象：由幂函数的图象的幂函数的性质；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、温故知新，引入新课
问题1：我们都学习过，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？
（学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答）
同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。
同学2：这两个函数自变量位置不同:。
教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而是我们学习过的指数函数，对于这个函数我们将进一步分析。
探索新知
探究一 幂函数概念
（一）实例观察，引入新课
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 ， P是W的函数 （y=x）
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 ， S是a的函数（y=x2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 ， S是a的函数（y=x3）。
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 。 a是S的函数 。 （y=）
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 ，V是t的函数 。 （y=x-1）
问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?
学生反应：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。
【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.
（二）类比联想，探究新知
1.幂函数的定义：一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(pwer functin) ，其中x为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = xa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．
思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？
思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子
名称
a
x
y
指数函数：
底数
指数
幂值
幂函数：
指数
底数
幂值
思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？
看看自变量x是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 。
【答案】（1）、（5）.
探究二 幂函数性质
对于幂函数，我们只讨论时的情况，
即：
1.思考：我们应如何研究幂函数呢？
作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质
2、在同一平面直角坐标系内作出幂函数
的图象：
3、性质：
定义域
R
R
R
值域
R
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
增函数
增
减
增函数
增
，减
公共点
（1，1）
例1.已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，），求这个函数的解析式。
解：设。因为幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，），
所以，所以，
所以。
例2.证明幂函数y=在[0，+∞)上是增函数
证明：
通过比较初中所学函数，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过具体实例，让学生观察函数具有的共同特征，归纳幂函数的概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，比较指数函数与幂函数的区别，进一步理解幂函数的概念及呈现形式的理解。提高学生分析问题、概括能力。
通过练习，进一步巩固幂函数的概念，提高学生解决问题的能力。
通过函数图象，归纳幂函数的性质，提高学生分析问题、归纳能力。
通过例题进一步理解幂函数的概念及单调性的证明方法，提高学生的解决问题的能力。
三、达标检测
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，则f(2)＝( )
A.eq \f(1,4) B．4 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
【解析】 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，∴eq \f(1,2)＝4α，∴α＝－eq \f(1,2)，
∴y＝x－eq \s\up12(\f(1,2))，∴f(2)＝2－eq \s\up12(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，
故选C.
【答案】 C
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝xeq \s\up12(\f(1,3)) B．y＝x－eq \s\up12(\f(1,2)) C．y＝xeq \s\up12(\f(5,3)) D．y＝xeq \s\up12(\f(2,3))
【解析】 A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．
【答案】 D
3．设a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
【解析】 当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝eq \f(1,2)时，函数y＝xeq \s\up12(\f(1,2))的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
【答案】 A
4．函数y＝xeq \s\up12(\f(1,3))的图象是( )
【解析】 显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”说明函数是奇函数．同时当0＜x＜1时，xeq \s\up12(\f(1,3))＞x，当x＞1时，xeq \s\up12(\f(1,3))＜x.
【答案】 B
5．比较下列各组数的大小：
(1)－8－eq \s\up12(\f(7,8))与－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(\f(7,8))； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－eq \s\up12(\f(2,3)).
【解】 (1)－8－eq \s\up12(\f(7,8))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(\f(7,8))，函数y＝xeq \s\up12(\f(7,8))在(0，＋∞)上为增函数，又eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(\f(7,8))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(\f(7,8)).
从而－8－eq \s\up12(\f(7,8))<－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(\f(7,8)).
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,6)))－eq \s\up12(\f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))－eq \s\up12(\f(2,3)).
因为函数y＝x－eq \s\up12(\f(2,3))在(0，＋∞)上为减函数，
又eq \f(4,6)>eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.
（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.
五、作业
习题3.3 1,2题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。