北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法教案及反思

课程目标

学科素养

A.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析式法、图象法、列表法）表示函数；

B.了解简单的分段函数，并能简单地应用；

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1.数学抽象：函数解析法及能由条件求函数的解析式；

2.逻辑推理：求函数的解析式；

3.数学运算：由函数解析式求值和函数解析式得计算；

4.直观想象：由函数的图象表示函数；

5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.  初中学过哪几种表示函数的方法?

【答案】表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

如,s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a≠0),y=x+2等等都是用解析式表示函数关系的.3.1.1的问题1、2.

（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3.

（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题4.

二、探索新知

例1    某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.

用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈｛1,2,3,4,5｝。

用列表法可将y=f(x)表示为

用图象法可将y=f(x)表示为

思考1：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？

【答案】解析法：①函数关系清楚、精确；

②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质.

解析法是中学研究函数的主要表达方法.

图象法：能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.

列表法：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用.

列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。

思考2：所有的函数都能用解析法表示吗？

【答案】不是所有的函数都能用解析法表示.例如,某天24整点的整点数与这一刻的气温的关系.

例2.画出函数y=|x| 的图象.

解: 由绝对值的概念,我们有。

所以，函数y=|x| 的图象如图所示。

我们把这样的函数称为分段函数。

例3.给定函数

（1）在同一直角坐标系中画出函数 的图象；

（2） 用M(x)表示中的较大者，记为， 试分别用图象法和解析法表示函数M(x).

解：（1）  在同一直角坐标系中画出函数的图象，如图。

（2）解：由（1）中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，如图

结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为

例4:   下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.

   对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

 解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况.可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像表示出来，如图1，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.

   为了更容易的看出学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，如图2。

  在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀.张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.

例5  依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为

个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数    ①。

 应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除      ②。

其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见下表。

（1）  设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求 ，并画出图象。

（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

解：（1） 根据上表，可得函数的解析式为

函数图象如图所示

（2）根据公式②，小王全年应缴纳所得额为

t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560

=0.8×189600－117360

=34320

将t的值代入③，得y=0.03×34320=1029.6

所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。

通过复习初中所学函数的表示方法，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过例题让学生进一步理解函数的三种表示方法，并分析三种表示方法的不同，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，总结函数的三种表示方法的特点，提高学生分析问题、概括能力。

通过例题讲解，让学生明白怎样把函数的解析式中绝对值号去掉，教给学生分段函数的定义。

通过例题练习分段函数图象的画法及其表示，提高学生解决问题的能力。

通过例题进一步比较列表法、图象法，让学生进一步理解这两种表示方法的优缺点，提高学生的观察、概括能力。

提高对性质的证明，进一步理解与掌握性质。

通过例题的讲解，让学生进一步理解分段函数的解析式得写法、求法，分段函数的图象的画法以及分段函数的求值，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝(　　)

A．2  B．3     C．4  D．5

【解析】　由表可知f(11)＝4.

【答案】　C

2.设f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　)

A．3    B．1   C．0    D．－1

【解析】　∵f(x)＝∴f[f(－1)]＝f(1)＝1＋2＝3.故选A.

【答案】　A

3．f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

【解析】　∵f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.

【答案】　B

4．已知函数y＝使函数值为5的x的值是(　　)

 A．－2      B．2或－

C．2或－2    D．2或－2或－

【解析】　由题意，当x≤0时，f(x)＝x2＋1＝5，得x＝±2，又x≤0，所以x＝－2；

当x＞0时，f(x)＝－2x＝5，得x＝－，舍去．故选A.

【答案】　A

5．已知函数f(x)＝

(1)求f{f[f(5)]}的值；

(2)画出函数的图象．

【解】　(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.

∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.

∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1，

即f{f[f(5)]}＝－1.

(2)图象如图所示．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 理解函数的三种表示方法；

2.在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数；

3.注意分段函数的表示方法及其图象的画法;

五、作业

习题3.1   6,7,9题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。