高中北师大版 (2019)1 对数的概念教学设计及反思

【新教材】4.3.1 对数的概念（人教A版）

对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.

课程目标

1、理解对数的概念以及对数的基本性质；

2、掌握对数式与指数式的相互转化；

数学学科素养

1.数学抽象：对数的概念；

2.逻辑推理：推导对数性质；

3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；

4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.

重点：对数式与指数式的互化以及对数性质；

难点：推导对数性质．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

    已知中国的人口数y和年头x满足关系中，若知年头数则能算出相应的人口总数。反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿......”，该如何解决？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本122-123页，思考并完成以下问题

1. 对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？

2. 什么是常用对数和自然对数？

3.如何进行对数式和指数式的互化？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

[点睛]　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．

2．常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.

3．对数与指数的关系

若a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.

对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．

4．对数的性质

(1)1的对数为零；

(2)底的对数为1；

(3)零和负数没有对数．

四、典例分析、举一反三

题型一    对数式与指数式的互化

例1  将下列指数式与对数式互化:

(1)lo27=-3;　(2)43=64;    (3)e-1=;　(4)10-3=0.001.

【答案】(1)=27.　  (2)log464=3.    (3)ln=-1.　 (4)lg 0.001=-3.

解题技巧：（对数式与指数式的互化）

 1.(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:

2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.

跟踪训练一

1. 将下列指数式与对数式互化:

(1)2-2=;　(2)102=100;　(3)ea=16;

(4)log64=-;　(5)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).

【答案】(1)log2=-2.　(2)log10100=2,即lg 100=2.   (3)loge16=a,即ln 16=a.　

(4)    6.   (5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).

题型二   利用对数式与指数式的关系求值

例2    求下列各式中x的值:

(1)4x=5·3x;　(2)log7(x+2)=2;

(3)ln e2=x;　(4)logx27=;     (5)lg 0.01=x.

【答案】（1）x=lo5 （2）x=47 （3）x=2 （4）x=9（5）x=-2

【解析】(1)∵4x=5·3x,∴=5,∴=5,∴x=lo5.

(2)∵,∴x+2=49,∴x=47.

(3)∵,∴,∴x=2.

(4)∵,∴=27,∴x=2=32=9.

(5)∵lg 0.01=x,∴,∴x=-2.

解题技巧：（利用对数式与指数式的关系求值）

指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.

跟踪训练二

1.求下列各式中的x值:  

(1)log2x=;(2)log216=x;(3)logx27=3.

【答案】（1）x= （2）x=4 （3）x=3

【解析】(1)∵log2x=,∴x=,∴x=.

(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.

(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,,∴x=3.

题型三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值

例3 求下列各式中x的值:

（1）;　(2);   (3)=9.

【答案】（1）x= （2）x=100 （3）x=81

【解析】(1)∵,∴,∴x=2.

(2)∵,∴lg x=2,∴x=100.

(3)由=9得=9,解得x=81.

解题技巧：（利用对数的基本性质与对数恒等式求值）

1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.

2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式            =N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.

跟踪训练三

1. 求下列各式中x的值:

(1)ln(lg x)=1;(2)log2(log5x)=0;(3)=x.

【答案】（1）（2）x=5 （3）x=45

【解析】(1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e,∴；

(2)∵log2(log5x)=0,∴,∴x=5.

(3)x=32×=9×5=45.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本126页习题4.3中 1题2题

本节主要学习了一类新的数：对数。主要就对数的概念及性质学习对数，本节课需要学生熟记定义及性质.