数学必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案

【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计（人教A版）

本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。

课程目标

1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;

2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题．

数学学科素养

1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；

2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；

3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.

4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。.

重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；

难点：求值过程中角的范围分析及角的变换.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本215-218页，思考并完成以下问题

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？

2. 二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；

tan(α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos2_α－sin2_α＝2cos2_α－1＝1－2sin2_α；

tan 2α＝.

提醒：

1．必会结论

(1)降幂公式：cos2 α＝，sin2 α＝.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2 α，1－cos 2α＝2sin2 α.

(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．

(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，

其中sin φ＝，cos φ＝ .

2．常见的配角技巧

2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．

四、典例分析、举一反三

题型一    给角求值

例1  利用和（差）角公式计算下列各式的值.

【答案】（1）（2）0（3）.

解题技巧：（利用公式求值问题）

在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值.

跟踪训练一

1.cos 50°=(　　)

A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°

B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°

C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°

D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20°

【答案】C

【解析】　cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°.

2.coscos+cossin的值是(　　)

A.0       B. C. D.

【答案】C

【解析】coscos+cossin=coscos+sinsin=cos=cos.

3.　求值：(1)tan75°；(2).

【答案】（1）2＋；（2）1.

【解析】(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.

(2)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.

题型二  给值求值

例2

【答案】

例3

【答案】见解析.

解题技巧：(给值求值的解题策略)

(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.

(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:

①α=(α-β)+β;②α=;③2α=(α+β)+(α-β);

④2β=(α+β)-(α-β).

跟踪训练二

1.(1)已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos β=,则sin(α+β)=　　　　　. 

(2)若sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=,且α∈,则tan =　　　　　. 

【答案】（1）0；（2）

【解析】 (1)∵α为锐角,sin α=,∴cos α=.

∵β是第四象限角,cos β=,∴sin β=-.

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==0.

(2)由已知得sin [(α-β)+β]=,即sin α=,又因为α∈,

所以cos α=-,于是tan α=-,

故tan.

题型三  给值求角

例4已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．

【答案】.

【解析】　∵tanα＝<1且α为锐角，∴0<α<.

又∵sinβ＝<＝且β为锐角．

∴0<β<，∴0<α＋2β<.①

由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝.

∴tan(α＋β)＝＝＝.

∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②

由①②可得α＋2β＝.

解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤)

(1)给值求角问题的步骤．

①求所求角的某个三角函数值．

②确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．

(2)选取函数的原则．

①已知正切函数值，选正切函数．

②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．

跟踪训练三

1.若tan α=,tan β=,且α∈,β∈,则α+β的大小等于(　　)

A. B. 

C. D.

【答案】B .

【解析】由已知得tan(α+β)=

==1.

又因为α∈,β∈,

所以α+β∈(π,2π),于是α+β=.

题型四  二倍角公式应用

例5

【答案】见解析.

解题技巧：(二倍角公式应用)

应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．

跟踪训练四

1.　(1)已知α∈，sinα＝，则sin2α＝________，cos2α＝________，tan2α＝________；

(2)已知sin＝，0<x<，求cos2x的值．

【答案】（1）－，，－；（2）.

【解析】　(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－，

所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，

tan2α＝＝－，故填－，，－.

(2)因为x∈，所以－x∈，又因为sin＝，

所以cos＝，

所以cos2x＝sin＝2sincos＝2××＝.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本228页习题5.5.

本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。