2021学年10.1 函数的图像教案设计

【新教材】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 教学设计（人教A版）

由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．

课程目标

1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.

2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.

数学学科素养

1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；

2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；

3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；

4.数学运算：五点作图；

5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.

重点：正弦函数、余弦函数的图象．

难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx的图象．

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本196-199页，思考并完成以下问题

1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？

2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？

3.怎样作出余弦函数y＝cos x的图像？

4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．正弦曲线、余弦曲线

(1)定义：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做 正弦 曲线和余弦曲线．

(2)图象：如图所示．

2．“五点法”画图

步骤：(1)列表：

(2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．；

画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．

3．正、余弦曲线的联系

依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向 左平移个单位长度即可．

四、典例分析、举一反三

题型一    作正弦函数、余弦函数的简图

例1画出下列函数的简图

(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．

【答案】见解析

【解析】(1)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)．

图1

(2)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图2)．

图2

解题技巧：（简单三角函数图像画法）

1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.

2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换.

跟踪训练一

1.画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．

【答案】见解析．

【解析】按三个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图3)．

图3

2. 在给定的直角坐标系如图4中，作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象．

【答案】见解析．

【解析】列表取点如下：

描点连线作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象如图5所示．             

图4                                               图5

题型二  正弦函数、余弦函数图象的简单应用

例2　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域.

【答案】见解析.

【解析】由题意，得x满足不等式组即

作出y＝sin x的图象，如图所示.

结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).

例3　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.

【答案】见解析.

【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.

描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.

由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个

解题技巧： (正弦函数、余弦函数图象的简单应用)

1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.

2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.

跟踪训练二

1.函数y＝的定义域为_________________________________.

【答案】，k∈Z.

【解析】　由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，

即sin x≥.由y＝sin x在[0,2π]的图象，

可知≤x≤π，又有y＝sin x的周期性，

可得y＝的定义域为，k∈Z.

2. 若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.

【答案】m∈(－1，)∪(，0).

【解析】由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x＝2m＋1有两个根.

可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点.

由y＝sin x图象可知：

－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，

解得－1＜m＜0，且m≠－.

∴m∈(－1，)∪(，0).

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本200页练习，213习题5.4第1题.

本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．