高中粤教版 (2019)2.1.2 设计教案

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【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教学设计（人教A版）本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质. 课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题. 数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义； 2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质； 难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、    情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课 阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1.  周期函数、周期、最小正周期等的含义？ 2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？ 3.  通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性正弦函数的对称中心是,对称轴是直线;余弦函数的对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.四、典例分析、举一反三题型一    正、余弦函数的周期性例1  求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3cos x,x∈R;                (2)y=sin 2x,x∈R;  (3)y=2sin(),x∈R;        (4)y=|cos x|,x∈R.【答案】(1) 2π；(2)π；(3) 4π；(4)π.【解析】:(1)因为3cos(x+2π)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2π.(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4π.(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为π.      解题技巧：（求函数最小正周期的常用方法）(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．　　跟踪训练一1.（1）函数y=2sin (3x+),x∈R的最小正周期是(　　)(A) (B) (C) (D)π(2)函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为　　　　.  【答案】(1)B；(2) ．【解析】　(2)作出y=|sin 2x|(x∈R)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为.题型二  化简、求值例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数.【解析】(1)显然x∈R,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函数.(2)因为x∈R,f(x)=sin(+)=-cos,所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),所以函数f(x)=sin(+)是偶函数.(3)显然x∈R,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),所以函数f(x)=sin |x|是偶函数. (4)由得cos x=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.解题技巧：(判断函数奇偶性的方法)判断函数奇偶性的方法(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法. 跟踪训练二1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)(A)y=sin(2x+)    (B)y=cos(2x+)(C)y=sin(2x+)    (D)y=sin(x+)【答案】B【解析】　A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函数,T==π,故选B.2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于                                                          (　　)A．－      B．1      C．－    D．【答案】D【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，所以f ＝f ＝f ，又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以f ＝f ＝f ＝sin＝.题型三   正、余弦函数的单调性例3 求函数y=sin(x+)的单调区间.【答案】略.【解析】当-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-+,+](k∈Z).当+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[+,+](k∈Z). 解题技巧：（求单调区间的步骤）(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式．(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．跟踪训练三1．求函数y＝2sin的单调增区间．【答案】略.【解析】y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，则y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增区间，即求y＝sin z的减区间，所以＋2kπ≤z≤＋2kπ(k∈Z)，即＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sin的单调增区间是(k∈Z)．题型四    正弦函数、余弦函数单调性的应用例4  比较下列各组中函数值的大小： （1）cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.【答案】（1）cos＜cos；（2）sin 194°＞cos 160°.【解析】（1）cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos，∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，∴cos＜cos，即cos＜cos.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°.从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.解题方法（比较两个三角函数值的大小） (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．跟踪训练四1．下列结论正确的是         (　　)A．sin 400°>sin 50°　　 B．sin 220°<sin 310°C．cos 130°>cos 200°   D．cos(－40°)<cos 310°【答案】C.【解析】由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当0°<x<90°时，函数y＝cos x是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.题型五   正、余弦函数的值域与最值问题例5  求下列函数的值域:(1)y=cos(x+),x∈[0,];(2)y=cos2x-4cos x+5. 【答案】（1）[-,] ；（2）[2,10].【解析】(1)由x∈[0,]可得x+∈[,],函数y=cos x在区间[,]上单调递减,所以函数的值域为[-,]. (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(, 当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10]. 解题方法（三角函数的值域问题解题思路） 三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(ωx+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方 法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.跟踪训练五1. 函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为　　　　.  【答案】[-9,1].【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.故当sin x=1时,ymax=1;当sin x=-1时,ymin=-9,故y=2cos2x+5sin x-4的值域为[-9,1].2.设f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+)的最大值为　　　　. 【答案】1.【解析】由题意a≠0,当a>0时,所以此时g(x)=-sin(2x+),其最大值为1.当a<0时,所以此时g(x)=-sin(-2x+),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计        七、作业课本207页练习、213页习题5.4 2-6、10、11题.本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开.