高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教学设计

1.2集合间的基本关系

教学设计（人教A版）

第一节通过研究集合中元素的特点研究了元素与集合之间的关系及集合的表示方法，而本节重点通过研究元素得到两个集合之间的关系，尤其学生学完两个集合之间的关系后，一定让学生明确元素与集合、集合与集合之间的区别。

课程目标

1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

2. 理解子集.真子集的概念． 

3. 能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

数学学科素养

1.数学抽象：子集和空集含义的理解；

2.逻辑推理：子集、真子集、空集之间的联系与区别；

3.数学运算：由集合间的关系求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；

4.数据分析：通过集合关系列不等式组， 此过程中重点关注端点是否含“=”及问题；

5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．

难点：难点是属于关系与包含关系的区别．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 问题导入：

实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本7-8页，思考并完成以下问题

1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？

2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？

3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

（一）知识整理

1．集合与集合的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.

记作：

读作：A包含于B(或B包含A).

图示：

（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.

记作：

读作：A等于B.

图示：

2. 真子集

若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。

记作：A B（或B A）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

3．空集

不含有任何元素的集合称为空集，记作：.

规定：空集是任何集合的子集。

（二）知识扩展

1. 能否说任何一集合是它本身的子集，即?

2. 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?

3. 空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?

4. 集合的子集和真子集个数与集合元素有什么关系？结合实例探究。

5. 0，{0}与三者之间有什么关系?

6. 与属于关系有什么区别?试结合实例做出解释.

7. 对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系?

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

结论：（1）（类比）

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（3）若则（类比，则）

（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

四、典例分析、举一反三

题型一    写出给定集合的子集

例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;

 (2)填写下表,并回答问题:

由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?

【答案】见解析

【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.

解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};

含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.

故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.

其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.

(2)

由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.

解题技巧：（分类讨论是写出所有子集的方法）

1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.

2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.

跟踪训练一

1.若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B

【解析】集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.

题型二   韦恩图及其应用

例2　下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系的维恩图是(　　)

【答案】B

【解析】∵N={x|x2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N⫋M,故选B.

解题技巧：(应用)

是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观,可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工具使用.

跟踪训练二

2.设A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形},则下列关系正确的是(　　)

A.E⫋D⫋C⫋A        B.D⫋E⫋C⫋A

C.D⫋B⫋A            D.E⫋D⫋C⫋B⫋A

【答案】A

【解析】集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知,应选A.

题型三    由集合间的关系求参数的范围

例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.

(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;

(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.

【答案】见解析

【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.

解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.

如图在数轴上标出集合A,B.

由图可知,B⫋A.

(2)由已知A⊇B.

①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.

②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.

由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,

由图可得解得-1≤a≤4.

又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1

变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.

【答案】见解析

【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集.

此时有显然实数a不存在.

变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a的取值范围.

【答案】见解析

【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.

②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.

由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,

由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥  或a≤-3.

又因为a<1,所以a≤-3.

综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.

解题技巧：（根据集合之间关系，求参数的值或范围）

1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.

2.涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.

跟踪训练三

3.若集合A={x|},B={x|},且B⊆A,求实数a的取值范围.

【答案】见解析

【解析】A={-3,2}.对于,

当Δ=1-4a<0,即a>时,B=⌀,B⊆A成立;

当Δ=1-4a=0,即a=时,B=,B⊆A不成立;

当Δ=1-4a>0,即a<时,若B⊆A成立,则B={-3,2},所以a=-3×2=-6.

综上可知,a的取值范围为a>或a=-6.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本9页习题1.2

在本节的教学过程中，空集和端点问题是学生最不容易掌握的地方，需在此细嚼慢咽。若理解能力比较弱的同学可让其采取“里实外空，‘==’取不到”的方法做题。