初中数学北师大版七年级上册第四章 基本平面图形4.3 角教案

这是一份初中数学北师大版七年级上册第四章 基本平面图形4.3 角教案，共9页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。
【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计（人教A版）本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。课程目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．数学学科素养1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理： “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； 难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、    情景导入公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本182-183页，思考并完成以下问题1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1.商数关系：＝tan_α.(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示]　一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．四、典例分析、举一反三题型一    应用同角三角函数关系求值例1 (1)若，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．【答案】(1)当α是第三象限角时，cos α＝－，tan α＝.α是第四象限角时，cos α＝，tan α＝-(2)如果α是第二象限角，那么sin α＝，tan α＝－.如果α是第三象限角， sin α＝－，tan α＝.【解析】(1)∵sin α＝－，α是第三、第四象限角，当α是第三象限角时，cos α＝－＝－，tan α＝＝.α是第四象限角时，cos α＝＝，tan α＝＝-(2)　∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝＝＝，tan α＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－＝－，tan α＝.解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．跟踪训练一1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．【答案】角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.【解析】　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cos α＝±.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.题型二  三角函数式的化简、求值例2　(1)化简：；(2)若角α是第二象限角，化简：tan α.【答案】（1）1；  （2）-1.【解析】　(1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1.解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.跟踪训练二1．化简：(1)；(2).【答案】(1)1；(2) cos θ.【解析】　(1)原式＝＝＝＝＝1.(2)原式＝＝＝cos θ.题型三    三角函数式的证明 例3 求证：.【答案】见解析【解析】　解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．跟踪训练三1．求证：＝.【答案】见解析【解析】证明：　右边＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．题型四   “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系例4 已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π.求：(1)sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．【答案】(1)－； (2).【解析】证明：(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，∴1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝.解题方法（ “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系）1、已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．2、已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．跟踪训练四1.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝        ．2.已知＝2，计算下列各式的值：(1)；(2)sin2α－2sin αcos α＋1.1、【答案】－.【解析】法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝＝＝.②由①②解得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝＝－.法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.2.【答案】（1）；(2).【解析】由＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.（1）法一(换元)原式＝＝＝.法二(弦化切)原式＝＝＝.(2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计       七、作业课本184页练习及184页习题5.2.学生容易推导出同角三角函数的基本关系式，但对于运用初学时一部分学生感到困难，经多例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。