人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换学案及答案

【新教材】5.5.2 简单的三角恒等变换

（人教A版）

1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．

3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．

1.逻辑推理： 三角恒等式的证明；

2.数据分析：三角函数式的化简；

3.数学运算：三角函数式的求值.

重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；

难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.

一、    预习导入

阅读课本225-226页，填写。

1．半角公式

2．辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(其中tan θ＝)．

1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)

A．－　　 B．

C．－ D．

2．2sin θ＋2cos θ＝(　　)

A．sin B．2sin

C．2sin D．sin

3．函数f(x)＝2sin x＋cos x的最大值为        ．

4．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于        ．

题型一    化简求值问题

例1　设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)

A．　　 B．

C．－ D．－

跟踪训练一

1．已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值．

题型二  三角恒等式的证明

例2 求证：＝sin 2α.

跟踪训练二

1.求证：＝.

题型三   三角恒等变换与三角函数图象性质的综合

例3已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

跟踪训练三

1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x－＋1(x∈R)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)若x∈，求f(x)的值域．

1．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　)

A.   B.

C.   D．－

2．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为(　　)

A．1   B．－1

C.   D．－

3．已知sin －cos ＝，则cos 2θ＝________．

4．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．

5．化简：(0<α<π)．

6．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；

(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．

答案

小试牛刀

1．C

2．C.

3. .

4. -3.

自主探究

例1　【答案】D

【解析】∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.

又cos＝a，∴sin＝－＝－.

跟踪训练一

1．【答案】sin ＝，cos ＝－，tan ＝－2.

【解析】　∵π＜α＜，sin α＝－，

∴cos α＝－，且＜＜，

∴sin ＝＝，

cos ＝－＝－，

tan ＝＝－2.

例2 【答案】证明略.

【解析】证明：　法一：用正弦、余弦公式．

左边＝＝＝＝＝sincos

cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，∴原式成立．

法二：用正切公式．

左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，

∴原式成立．

跟踪训练二

1.【答案】证明略.

【解析】　证明：　左边＝

＝＝

＝＝＝＝右边．

所以原等式成立.

例3【答案】 (1)函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.

(2)函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

【解析】　(1)∵f(x)＝coscos－sin 2x＋

＝－sin 2x＋

＝cos2x－sin2x－sin 2x＋

＝－－sin 2x＋

＝(cos 2x－sin 2x)＝cos.

∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.

(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，

得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z.

函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

跟踪训练三

1．【答案】(1)最小正周期为T＝π.

(2)函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(3)值域为[0，3]..

【解析】f(x)＝sin 2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.

(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(3)∵x∈，

∴2x＋∈，

∴sin∈.

∴f(x)∈[0，3].

当堂检测 

1-2.AD

3.

4．－

5．【答案】原式＝－2cos .

【解析】因为tan ＝，所以(1＋cos α)tan ＝sin α.

又因为cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，

所以原式＝＝＝－.

因为0<α<π，所以0<<.所以sin >0.

所以原式＝－2cos .

6．【答案】(1)f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．对称中心的坐标是(k∈Z)．(2)所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.

【解析】f(x)＝sin 2x－cos 2x－2·＝sin 2x＋cos 2x－

＝sin－.

(1)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，

得x＝kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)．

所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．

(2)当0≤x≤时，≤2x＋≤，－≤sin≤1，

所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.