高中人教B版 (2019)4.4 幂函数学案

【新教材】3.3 幂函数（人教A版）

1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；

2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；

3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．

1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；

2.逻辑推理：常见幂函数的性质；

3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；

4.数据分析：比较幂函数大小；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。

重点：常见幂函数的概念、图象和性质；

难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．

一、 预习导入

阅读课本89-90页，填写。

1．幂函数

一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量, ________是常数.

2、幂函数的性质

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．                                            (　　)

(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)．                                       (　　)

(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．                                    (　　)

2．下列函数中不是幂函数的是(　　)

A．y＝　　　　　　   B．y＝x3

C．y＝2x     D．y＝x－1

3．已知f(x)＝(m－1)x是幂函数，则m＝(　　)

A．2     B．1

C．3     D．0

4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________.

题型一    幂函数的概念

例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.

跟踪训练一

1.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.

题型二   幂函数的图象与性质

例2　已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 (　　)

A.c<b<a       B.a<b<c

C.b<c<a       D.c<a<b

跟踪训练二

1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)

A.n<m<0 

B.m<n<0

C.n>m>0 

D.m>n>0

题型三   利用幂函数的单调性比较大小

例3 比较下列各组中两个数的大小:

(1);

(2);

(3).

跟踪训练三

1. 已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<b

1．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是(　　)

A．①②④⑤　　　　　　   B．③④⑥

C．①②⑥     D．①②④⑤⑥

2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)

A.　　　　           B．1　        　　　C.　　　　   D．.2

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)

A．y＝x－2     B．y＝x－1

C．y＝x2     D.y＝x

4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)

A．n<m<0     B．m<n<0

C．n>m>0     D．m>n>0

5．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(　　)

A．－2，－，，2

B．2，，－，－2

C．－，－2,2，

D．.2，，－2，－

6．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．

解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则

∴m＝1.

(2)若函数f(x)为反比例函数，则

∴m＝－1.

(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±.

7．比较下列各组数的大小．

(1)3和3.2；

(2)和；

(3)4.1和3.8.

解：(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.

(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.

(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1－＝1，

所以4.1＞3.8－.

答案

小试牛刀

1．（1）√  （2）×  （3） ×

2-3．C  A   

4．

自主探究

例1 【答案】m=3

【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.

当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;

当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.

跟踪训练一

1.【答案】m=1或m=2.

【解析】　由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;

当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;

当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.

综上所述,m=1或m=2.

例2　【答案】A

【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.

跟踪训练二

1.【答案】  A

【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.

例3 【答案】见解析

【解析】(1)∵幂函数y=在[0,+∞)上是增函数,

又,∴.

(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,

又-<-,∴.

(3)∵函数y1=在定义域内为减函数,且,∴.

又函数y2=在[0,+∞)上是增函数,且,

∴.∴.

跟踪训练三

1.【答案】A

【解析】　∵a==1,b==1,c=2, ∴a>b,a<c,∴b<a<c.

当堂检测 

1-5．CAAAB

6．【答案】见解析

【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则

∴m＝1.

(2)若函数f(x)为反比例函数，则

∴m＝－1.

(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±. 

7. 【答案】见解析

【解析】(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.

(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.

(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1－＝1，

所以4.1＞3.8－.