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    青岛版八年级下册10.1 函数的图像学案

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    这是一份青岛版八年级下册10.1 函数的图像学案,共7页。

    第五章  三角函数

    5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像

    1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,掌握五点法画出正弦函数、 余弦函数的图象的方法.

    2.正、余弦函数图象的简单应用.

    3.正、余弦函数图象的区别与联系.

    重点:理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。

    难点:理解作余弦函数的图象的方法。

    教材整理1 正弦曲线和余弦曲线

    1.可以利用单位圆中的______线作ysin xx[0,2π]的图象.

    2ysin xx[0,2π]的图象向________平行移动(每次个单位长度),就可以得到正弦函数ysin xxR的图象.

    3.正弦函数ysin xxR的图象和余弦函数ycos xxR的图象分别叫做____________________

    教材整理2 正弦曲线和余弦曲线五点法作图

    1五点法作图的一般步骤是.

    提出问题

    下面先研究函数R 的图象,从画函数[0,2π]的图象开始.在[0,2π]上任取一个值,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值并画出点T)?

    问题探究

         如图5.4.1,在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,Ox轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上,将点A绕着点O旋转弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T.

     

    若把x轴上从0到2π这一段分成12等份,使的值分别为, , ,…2π,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,再按上述画点T)的方法,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图5.4.2).

     

    事实上,利用信息技术,可使在区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T,将这些点用光滑的曲线连接起来,可得到比较精确的函数0,2π]的图象.

     

    根据函数0,2π]的图象,你能想象函数R 的图象吗?

    由诱导公式一可知,函数,2(k+1)π kZk0的图象与0,2π的图象形状完全一致.因此将函数0,2π的图象不断向左、向右平移(每次移动个单位长度),就可以得到正弦函数R的图象(图5.4.4).

    正弦函数的图象叫做正弦曲线sinecueve),是一条波浪起伏的连续光滑曲线.

     

    思考:在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点?

    观察图5.4.3,在函数0,2π]的图象上,以下五个点:

    在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数0,2π]的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.这种近似的五点(画图)法是非常实用的.由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.下面我们利用这种关系,借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.

    思考:你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系,通过怎样的图形变换,才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象?

    对于函数, 由诱导公式 得,R

    而函数R 的图象可以通过正弦函数R 的图象向左平移个单位长度而得到.所以,将正弦函数的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数的图象,如图5.4.5 所示.你能说明理由吗?

    余弦函数 R的图象叫做余弦曲线cosinecurve).它是与正弦曲线具有相同形状的波浪起伏的连续光滑曲线.

     

       类似于用五点法画正弦函数图象,找出余弦函数在区间[-ππ]上相应的五个关键点,将它们的坐标填入表5.4.1,然后画出[-ππ]的简图

    1、用五点法作出下列函数的简图.

    (1)y1sin xx[0,2π]

    (2)y-cos xx[0,2π].

    【精彩点拨】 在[0,2π]上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即可.

    在直角坐标系中描出五点,然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到y1sin xx[0,2π]的图象.

    你能利用函数ysin xx[0,2π]的图象,通过图象变换得到y1sin xx[0,2π]的图象吗?同样地,利用函数ycosxx[0,2π] 图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y-cosxx[0,2π] 的图象?

    方法与规律

    1五点法是作三角函数图象的常用方法,五点即函数图象最高点、最低点与x轴的交点.

    2.列表、描点、连线是五点法作图过程中的三个基本环节,注意用光滑的曲线连接五个关键点.

    1.以下对于正弦函数ysin x的图象描述不正确的是(  )

    A.在x[2kπ2kπ2π]kZ上的图象形状相同,只是位置不同

    B.关于x轴对称

    C.介于直线y1y=-1之间

    D.与y轴仅有一个交点

    2.用五点法作函数ycos 2xxR的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是(  )

    A0π   B0π

    C0π    D0

    3.点M在函数ysin x的图象上,则m等于(  )

    A0 B1C.-1 D2

    4.函数ycos x与函数y=-cos x的图象(  )

    A.关于直线x1对称               B.关于原点对称

    C.关于x轴对称                    D.关于y轴对称

    5.方程x2cos x0的实数解的个数是__________

    6.用五点法画出ycosx[0,2π]的简图.

    1.正、余弦函数的图象每相隔个单位重复出现,因此,只要记住它们在[02π]内的图象形态,就可以画出正弦曲线和余弦曲线.

    2.作与正、余弦函数有关的函数图象,是解题的基本要求,用五点法作图是常用的方法.

     

    参考答案:

    一、    知识梳理

    正弦正弦曲线余弦曲线;列表 描点 连线

    二、    学习过程

     

    1sin x

    1

    2

    1

    0

    1

    1【解析】 (1)列表:

    (2)列表:

    x

    0

    π

    π

    cos x

    1

    0

    1

    0

    1

    -cos x

    -1

    0

    1

    0

    -1

     

    描点连线,如图

     

     

    三、达标检测

    1【解析】 观察ysin x的图象可知ACD正确,且关于原点中心对称,故选B.

    【答案】 B

    2【解析】 令2x0π,得x0π,故选B.

    【答案】 B

    3【解析】 由题意-msin m1m=-1.

    【答案】 C

    4【解析】 作出函数ycos x与函数y=-cos x的简图(),易知它们关于x轴对称,故选C.

    【答案】 C

    5【解析】 作函数ycos xyx2的图象,如图所示,

    由图象,可知原方程有两个实数解.

    【答案】 2

    6【解】 由诱导公式得ycos=-sin x

    (1)列表:

    x

    0

    π

    sin x

    0

    1

    0

    1

    0

    (2)描点:在坐标系内描出点(0,0)0)(2π0)

    (3)作图:将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来.

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