北师大版七年级上册4.3 角学案设计

【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系（人教A版）

1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．

2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；

2.逻辑推理： “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系；

3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.

重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；

难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

一、    预习导入

阅读课本182-183页，填写。

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝________.

商数关系：＝________.

(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的 ________等于1，________等于角α的正切．

思考：“同角”一词的含义是什么？

[提示]　一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”.）

(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　)

(2)对任意角α，＝tan 都成立．(　　)

(3)若sin α＝，则cos α＝.(　　)

2．化简的结果是(　　)

A．cos　     B．－cos

C．sin       D．－sin

3．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　)

A．－        B．

C．±         D．±

4．已知tan α＝2，则＝________.

题型一    应用同角三角函数关系求值

例1 (1)若，求cos α，tan α的值；

(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

跟踪训练一

1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

题型二  三角函数式的化简、求值

例2　(1)化简：；

(2)若角α是第二象限角，化简：tan α.

跟踪训练二

1．化简：(1)；

(2).

题型三    三角函数式的证明

例3 求证：.

跟踪训练三

1．求证：＝.

题型四   “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系

例4 已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π.

求：(1)sin αcos α的值；

(2)求sin α－cos α的值．

跟踪训练四

1.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝        ．

2.已知＝2，计算下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α－2sin αcos α＋1.

1．下列各式中成立的是(　　)

A．sin2α＋cos2β＝1 B．tan α＝(α任意)

C．cos2＝1－sin2 D．sin α＝

2．已知α∈，cos α＝，则tan α＝(　　)

A．± B．

C．－ D．

3．已知tan α＝－，则的值是        ．

4．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________.

5．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值．

6．(1)化简，其中α是第二象限角；

(2)求证：1＋tan2α＝.

答案

小试牛刀

1．（1）√（2）×（3）×.

2．A

3．A

4.－.

自主探究

例1 【答案】(1)当α是第三象限角时，cos α＝－，tan α＝.

α是第四象限角时，cos α＝，tan α＝-

(2)如果α是第二象限角，那么sin α＝，tan α＝－.

如果α是第三象限角， sin α＝－，tan α＝.

【解析】(1)∵sin α＝－，α是第三、第四象限角，

当α是第三象限角时，

cos α＝－＝－，tan α＝＝.

α是第四象限角时，

cos α＝＝，tan α＝＝-

(2)　∵cos α＝－＜0，

∴α是第二或第三象限的角．

如果α是第二象限角，那么

sin α＝＝＝，

tan α＝＝＝－.

如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝－＝－，tan α＝.

跟踪训练一

1．【答案】角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；

当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.

【解析】　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，

∴cos α＝±.

又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，

∴角α的终边在第二或第四象限．

当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；

当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.

例2　【答案】（1）1；  （2）-1.

【解析】　(1)原式＝

＝＝＝1.

(2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1.

跟踪训练二

1．【答案】(1)1；(2) cos θ.

【解析】　(1)原式＝＝＝＝＝1.

(2)原式＝＝＝cos θ.

例3 【答案】见解析

【解析】

跟踪训练三

1．【答案】见解析

【解析】证明：　右边＝＝

＝＝＝左边，

∴原等式成立．

例4 【答案】(1)－； (2).

【解析】证明：(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，

∴1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－.

(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.

又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，

∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，

∴sin α－cos α＝.

跟踪训练四

1、【答案】－.

【解析】法一：(构建方程组)

因为sin α＋cos α＝，①

所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，

即2sin αcos α＝－.

因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.

所以sin α－cos α＝＝＝.②

由①②解得sin α＝，cos α＝－，

所以tan α＝＝－.

法二：(弦化切)

同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，

整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.

由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.

2.【答案】（1）；(2).

【解析】由＝2，

化简得sin α＝3cos α，

所以tan α＝3.

（1）法一(换元)原式＝＝＝.

法二(弦化切)原式＝＝＝.

(2)原式＝＋1

＝＋1＝＋1＝.

当堂检测 

1-2． CA

3．　

4．－

5．【答案】sin α＝，cos α＝－.

【解析】　由tan α＝＝得

sin α＝cos α.  ①

又∵sin2α＋cos2α＝1，  ②

由①②得cos2α＋cos2α＝1.

∴cos2α＝.

又∵α是第三象限的角，

∴cos α＝－.

∴sin α＝，cos α＝－.

6．【答案】见解析

【解析】　(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，

所以sin αcos α＜0，

所以＝

＝＝－sin αcos α.

(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.