高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第1课时课后复习题

1.1　集合的概念

第1课时　集合的概念

 基 础 练                                                                 

巩固新知    夯实基础

1．有下列各组对象：

①接近于0的数的全体；

②比较小的正整数的全体；

③平面上到点O的距离等于1的点的全体；

④直角三角形的全体．

其中能构成集合的个数是  (　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

2．已知集合A由x＜1的数构成，则有(　　)

A．3∈A  B．1∈A

C．0∈A  D．－1∉A

3．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是(　　)

A．0∈A　　　 B．a∉A C．a∈A　　 D．a＝A

4．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)

A．矩形　　　 B．平行四边形 C．菱形　　 D．梯形

5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为 (　　)

A．2  B．2或4

C．4  D．0

6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．

7．已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________．

 能 力 练                                                                 

综合应用   核心素养

8．已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成集合A，则(　　)

A．2∈A　　　 B．3∉A C．－1∈A　　 D．1∈A

9．已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为(　　)

A．－2　　　 B．－1 C．－1或－2　　 D．－2或－3

10．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.

11．由实数x，－x，|x|，及－所组成的集合，最多含有________个元素．

12．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N.求a，b的值．

13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

14．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.

(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；

(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

【参考答案】

1．A 解析　①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．

2．C 解析　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

3．C 解析　由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，a是否等于0不确定，因此0是否属于A不确定，故选C．

4．D 解析　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．

5．B 解析　若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.

6．3 解析　由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.

7．3 解析　①②③是正确的；④⑤是错误的．

8．C 解析　①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；

②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；

③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；

④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，

∴集合A＝{－1,3}．

∴－1∈A.

9．C解析　由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C．

10．2或4 解析若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a＝2或4.

11．2  解析　因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x，－x，故合中最多含有2个元素．

12．解　法一　根据集合中元素的互异性，

有或，解得或或

再根据集合中元素的互异性，得或

法二　∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．

∴，即

∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．

当b≠0时，由②得a＝0，或b＝.

当a＝0时，由①得b＝1，或b＝0(舍去)．

当b＝时，由①得a＝.

当b＝0时，a＝0(舍去)．∴或

13．证明　(1)若a∈A，则∈A.

又∵2∈A，∴＝－1∈A.

∵－1∈A，∴＝∈A.

∵∈A，∴＝2∈A.

∴A中另外两个元素为－1，.

(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．

∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．

14．解　(1)因为A中有两个元素，所以方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，所以

即a>－且a≠0.所以实数a的取值范围为a>－，且a≠0.

(2)当a＝0时，由－3x－4＝0得x＝－；

当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a＝0，即a＝－；

若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－，

故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.