2020-2021学年第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图导学案及答案

这是一份2020-2021学年第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图导学案及答案，共10页。

知识点一 斜二测画法
斜二测画法的步骤和规则
知识点二 空间几何体直观图的画法
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比eq \(□,\s\up4(01))多了一个z轴，直观图中与之对应的是eq \(□,\s\up4(02))z′轴．
(2)画底面：eq \(□,\s\up4(03))平面x′O′y′表示水平平面，eq \(□,\s\up4(04))平面y′O′z′和eq \(□,\s\up4(05))x′O′z′表示竖直平面．
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中eq \(□,\s\up4(06))平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：eq \f(S直,S原)＝eq \f(\r(2),4).
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等的角，在直观图中仍相等．( )
(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．( )
(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做
(1)利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的( )
(2)在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6 cm，则在直观图中线段A′B′＝______cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4 cm，则在直观图中线段C′D′＝______cm.
(3)在空间几何体中，平行于z轴的线段AB＝10 cm，则在直观图中对应的线段A′B′＝________cm.
(4)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.
答案 (1)C (2)6 2 (3)10 (4)45°或135°
题型一 平面图形的直观图画法
例1 画水平放置的正五边形的直观图．
[解] (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝eq \f(1,2)OA，O′F′＝eq \f(1,2)OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD，C′F′＝F′D′.
(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝eq \f(1,2)GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝eq \f(1,2)HE.连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的直观图．
画平面图形直观图的技巧
(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．
(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝eq \f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
题型二 空间几何体的直观图画法
例2 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[解] 画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.
画空间几何体的直观图应遵循的原则
(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．
(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．
已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解 (1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.
(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.
题型三 直观图还原平面图形
例3 (1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．
[解] (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．
(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.
又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，
∴|BD|＝3，|AC|＝2.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·|BD|·|AC|＝3.
[结论探究] 若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积S′为多少？
解 设原图形的高为h，则直观图的高为eq \f(\r(2),4)h.又平行于x轴的线段长度不变，∴S′＝eq \f(\r(2),4)S.
直观图还原平面图形的策略
还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是( )
A．14 B．10eq \r(2) C．28 D．14eq \r(2)
答案 C
解析 ∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，
故其面积为S＝eq \f(1,2)×(2＋5)×8＝28.
题型四 直观图与原图间的计算问题
例4 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.eq \f(\r(3),4)a2 B.eq \f(\r(3),8)a2 C.eq \f(\r(6),8)a2 D.eq \f(\r(6),16)a2
[解析] 如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),4)a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，
则C′D′＝eq \f(\r(2),2)O′C′＝eq \f(\r(6),8)a，
所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)×a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.
[答案] D
1.利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则
(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．
(2)画图时要紧紧把握一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半
2．若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝eq \f(\r(2),4)S原．
如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则四边形OABC的形状是________．
答案 菱形
解析 如图，在四边形OABC中，有
OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2) cm，
CD＝C′D′＝2 cm，
∴OC＝eq \r(OD2＋CD2)
＝ eq \r(4\r(2)2＋22)＝6 cm，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．
1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq \f(1,2)
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
答案 C
解析 ∠x′O′y′也可以是135°.
2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AC
C．BC D．AD
答案 B
解析 由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．
3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
答案 D
解析 根据平面图形直观图的斜二测画法知③④可能是△ABC的直观图．
4．如图，一个三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，则原△AOB的面积是________．
答案 eq \r(2)
解析 由题意得O′B′＝B′A′＝1，∴O′A′＝eq \r(2)，且∠B′O′A′＝45°，
∴△AOB是以∠O为直角的三角形，且OB＝1，OA＝2eq \r(2)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)OB·OA＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(2)＝eq \r(2).
5．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．
解 (1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示．
(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．
(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．