高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计，共11页。教案主要包含了探索新知，达标检测，小结，作业等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。
1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
2.教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
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与好的问题设计相联系,在课堂教学中还要考虑以问题为主要载体的教学内容的选择,以及与问题的呈现时间、呈现空间和呈现方式相联系的教学情境设计,使教学过程达到最优。
1、本节课的教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成四个步骤层次分明(1)引入定义(2)验证运算律(3)探究共线定理(4)共线定理的应用。教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
2、在教学过程中,学生用于探究的时间相对较少了点,同时还发现学生在向量的书写和计算上存在不少问题,花了较多的时间让学生作过手训练,导致最后时间显得过于紧张,因此对于教学时间节奏的把握还不是特别的好,需要在以后的教字中多加打磨。
3、在教学中重基础知识,重基本方法,重基本技能,重教材,重应用,重工具作用,不拔高,不选偏题和难题,遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
4、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点,提高“向量法”的运用能力,充分发挥工具作用在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示,掌握向量的数乘运算,理解向量运算和实数运算的联系和区 别,强化本章基础。课程目标
学科素养
A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；
B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；
C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
1.数学抽象：实数与向量的积的定义；
2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平行；
3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；
4.直观想象：共线向量定理。
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
向量的三角形法则
。
特点:首尾相接，连首尾。
2.向量的平行四边形法则
特点:同一起点,对角线。
3.向量减法的三角形法则
。
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
二、探索新知
探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？
，记作。即。的方向与的方向相同，。
类似地，，其方向与的方向相反，。
1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
；
当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。
说明：（1）当时，。（2）。
2.向量数乘的运算律
探究2：求作向量和，，(为非零向量)，并进行比较。
【答案】
设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）
（2）
（3）
特别地，有

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
注：向量的线性运算的结果仍为向量。
对于任意向量、及任意实数、,恒有。
例1：计算
(1)
(2)
(3)
注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。
例2.如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且
，用向量表示
探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
【答案】当的方向相同；当的方向相反。
3.共线向量定理：
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。
思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？
【答案】若，则。可以是。
牛刀小试：
判断下列各小题的向量是否共线。
。
【答案】（1）共线 （2）共线 （3） 不共线
例3.如图，已知任意两个非零向量，试作
，，你能判断A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想。
结论：证明（判断）A、B、C三点共线的方法：
且有公共点B,A、B、C三点共线.
例4.已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值。
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。
通过探究，推出数乘向量的定义，提高学生分析问题、归纳问题的能力。
通过探究，得到几个向量之间的关系，进一步归纳出数乘向量的运算律，提高学生的分析问题、归纳问题的能力。
通过特例进一步理解数乘向量的运算律，提高学生解决问题的能力。
通过例题进一步熟悉数乘向量的运算律，提高学生利用知识解决问题的能力、运算素养。
通过例题进一步熟悉数乘向量的运算律与向量的运算，提高学生利用所学知识解决问题的能力、运算素养。
通过探究，推出共线向量定理，提高学生归纳能力，概括能力。
通过思考，进一步理解共线向量定理。
通过练习，巩固所学知识，提高学生运用所学知识解决问题的能力。
通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量定理，提高学生解决与分析问题的能力。
三、达标检测
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b
C．|3a| D．eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)
【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
【答案】 C
2．下列计算正确的个数是( )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．
【答案】 C
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))等于( )
A．a－eq \f(1,4)b＋2cB．5a－eq \f(1,4)b＋2c
C．a＋eq \f(5,4)b＋2cD．5a＋eq \f(5,4)b
【解析】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))＝(3a－2a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－\f(3,4)b))＋(c＋c)＝a－eq \f(1,4)b＋2c.故选A．
【答案】 A
4．O为平行四边形ABCD的中心，eq \(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq \(BC,\s\up6(→))＝6e2，则3e2－2e1＝________．
【解析】 设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→)).
【答案】 eq \(OD,\s\up6(→))(或eq \(BO,\s\up6(→)))
5．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC．
【证明】 ∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线．
又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1. 数乘向量的定义；
2.数乘向量的运算律；
3.共线向量定理。
五、作业
习题6.2 8.（2）（3）（4）,9题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。