高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性教学设计

课程目标

学科素养

A.理解两个事件相互独立的概念．

B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．

C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.

1.数学建模： 相互独立事件的判定

2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系

3.数学运算：相互独立事件概率的计算

4.数据抽象：相互独立事件的概念

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    探究新知

    前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
     我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？
    下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。

思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？

分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，

则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.

而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},

所以AB={(1,0)}.

由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.

于是P(AB)=P(A)P(B).

积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.

分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率

思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？

分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.

分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.

而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

   B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},

于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.

相互独立事件的定义:

    设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.

显然:(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.

(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:

①② ③

例如证①

1.判断下列事件是否为相互独立事件.

① 篮球比赛的“罚球两次”中，

   事件A：第一次罚球，球进了.

   事件B：第二次罚球，球进了.

②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.

③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.

   事件A：第一次从中任取一个球是白球.

   事件B：第二次从中任取一个球是白球.

是;是;不是

2.下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)

A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}

B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}

C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}

D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}

答案：A

解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；

B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；

对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立； 

D是条件概率，事件B受事件A的影响．

3.抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是 (　　)

A.互斥                    B.相互独立

C.既相互互斥又相互独立事件

D.既不互斥又不相互独立事件

答案:B

解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},

所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以A与B相互独立.

注：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:

两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;

两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

相互独立事件的判断方法

1.定义法：P(AB)=P(A)P(B)

2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。

例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},

B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},

AB={(1,2),(2,1)}

所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.

例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,

乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：

(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶.

解：设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立

由已知可得,.

（1） “两人都中靶”,由事件独立性的定义

得

（2）“恰好有一人中靶” ,且与互斥

根据概率的加法公式和事件独立性定义,得

（3）事件“两人都脱靶”,

所以

（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,

所以

方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”

根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为

例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为0.75，乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率

分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，

解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立性假定，得

设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立，

所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)

因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是

例4.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.

解: 依题设 A={ 甲击中敌机 },B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 }

由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，

所以 A与B 独立,进而

，

由知识回顾，提出问题，类比思考。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。

通过具体问题的事件分析，归纳出相互独立事件的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过实例分析，让学生掌握相互独立事件的判定及概率计算，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为×1-+1-×,故选B.

2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)

A.0.49          B.0.42          C.0.7              D.0.91

解析:记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,且A,B相互独立.则恰有1人击中目标为AB,所以只有1人击中目标的概率P=P(A)+P(B)=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42.

答案:B

3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为(　　)

A.1-a-b          B.1-ab                   C.(1-a)(1-b)                       D.1-(1-a)(1-b)

答案:C

解析:设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,

且P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).

4.已知A,B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=　　　　. 

答案:

解析:根据题意得,P(A)=P(A)P()=P(A)(1-P(B))=×1-=.

5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是　　　　　. 

答案:0.98

解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.

6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？

略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为

所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.

7.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：

 (1)都抽到某一指定号码;     (2)恰有一次抽到某一指定号码;

(3)至少有一次抽到某一指定号码;

 解: （1）记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。

四、小结

(1)列表比较

(2)解决概率问题关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.

判断两个事件是否相互独立的方法：

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。