八年级上册13.1.1 轴对称课时作业

八年级上册第十三章轴对称检测题

姓名：__________班级：__________考号：__________

一       、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。）

1.下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．C．D．

2.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　）

A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°

3.平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（　　）

A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（　　）

A．6 B．6C．6D．12

6.若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（     ）

A．    12 B．    14 C．    15 D．    12或15

7.图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）

A．    3：2 B．    5：3 C．    8：5 D．    13：8

8.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（　　）

A．68° B．    32° C．    22° D．    16°

9.等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（    ）

A．    25° B．    40° C．    25°或40° D．    不能确定

10.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）

A． 20° B． 40° C． 50° D． 60°

11.如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（　　）

A． B． C．2 D．

12.如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）

A．4 B．3            C．2            D．2+

二       、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13.点P1（﹣2，3）与点P2关于原点对称，则P2的坐标是　　　　　　．

14.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠C′的度数为　　　　　　．

15.在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是　　　　　　．

16.观察规律并填空：  

17.如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为　　　　　　．

18.如图，在平面直角坐标系中，△AA1C1是边长为1的等边三角形，点C1在y轴的正半轴上，以AA2=2为边长画等边△AA2C2；以AA3=4为边长画等边△AA3C3，…，按此规律继续画等边三角形，则点An的坐标为．

三       、解答题（本大题共8小题，共78分）

19.如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．(过D作DG∥AC交BC于G)．

20.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

21.如图，已知点A．B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小.

22.如图，已知AB=AC，∠A=36º，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，求证：

（1）BD平分∠ABC

（2）△BCD为等腰三角形

23.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC=AB．

24.如图，在平面直角坐标系XOY中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；

（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（　　），B′（　　），C′（　　）

（3）计算△ABC的面积．

25.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

26.问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A．D、E在同一直线上，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求证：CD∥BE．

拓展探究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A．D、E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．

0.八年级上册第十三章轴对称检测题 答案解析

一       、选择题

1.【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【考点】等腰三角形的性质．

【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．

【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，

∴两底角的和为180°﹣90°=90°，

∴两个底角分别为45°，45°，

故选B．

3.【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．

【解答】解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．

故选：B．

4.【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，

【解答】解：∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴∠B=∠DAB，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∵∠C=90°，

∴3∠CAD=90°，

∴∠CAD=30°，

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，

∴CD=DE=BD，

∵BC=3，

∴CD=DE=1，

故选A．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

5.【考点】含30度角的直角三角形．

【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．

【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，

∴BC=12sin30°=12×=6，

故答选A．

6.考点：    等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．

分析：    先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．

解答：    解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣6=0，

解得x=3，y=6，

①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，

∵3+3=6，

∴不能组成三角形，

②4是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，

能组成三角形，周长=3+6+6=15，

所以，三角形的周长为15．

故选C．

点评：    本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．

7.考点：    翻折变换（折叠问题）．

分析：    如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．

解答：    解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；

由题意得：S△ABD=S△PBD=30，

∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，

∴=，

由题意得：AB=BP，

∴AB：PC=3：2，

故选A．

点评：    该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．

8.解：∵CD=CE，

∴∠D=∠DEC，

∵∠D=74°，

∴∠C=180°﹣74°×2=32°，

∵AB∥CD，

∴∠B=∠C=32°．

故选B．

9.考点：    等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

专题：    计算题．

分析：    题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．

解答：    解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；

当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；

故选C．

点评：    此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°

10.考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．

解答： 解：∵∠BAC=110°，

∴∠B+∠C=70°，

又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，

∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，

∴∠BAP+∠CAQ=70°，

∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110°﹣70°=40°

故选：B．

点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．

11.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】连接OC构建全等三角形，证明△ODC≌△OEB，得DC=BE；把CD+CE转化到同一条线段上，即求BC的长；通过等腰直角△ABC中斜边AB的长就可以求出BC=，则CD+CE=AB=．

【解答】解：连接OC，

∵等腰直角△ABC中，AB=，

∴∠B=45°，

∴cos∠B=，

∴BC=×cos45°=×=，

∵点O是AB的中点，

∴OC=AB=OB，OC⊥AB，

∴∠COB=90°，

∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，

∴∠DOC=∠EOB，

同理得∠ACO=∠B，

∴△ODC≌△OEB，

∴DC=BE，

∴CD+CE=BE+CE=BC=，

故选B．

12.【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．

【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论．

【解答】解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．

∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，

∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，

∴A′C=2×A′B=2．

故选C．

二       、填空题

13.【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．

【解答】解：点P1（﹣2，3）与点P2关于原点对称，

故P2的坐标是：（2，﹣3）．

故答案为：（2，﹣3）．

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．

14.【考点】轴对称的性质．

【分析】根据轴对称的性质求出∠A′，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，

∴∠A′=∠A=50°，

在△A′B′C′中，∠C′=180°﹣∠A′﹣∠B′

=180°﹣50°﹣110°

=20°．

故答案为：20°．

【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

15.【考点】坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．

【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），

则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），

故答案为：（2，﹣2）．

16.　点拨：观察可知本题图案是两个数字相同，且轴对称，由排列可知是相同的偶数数字构成的，故此题答案为6组成的轴对称图形．

17.【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．

【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．

【解答】解：解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，

∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，

横坐标为2，

∴A（2， +1），

第2016次变换后的三角形在x轴上方，

点A的纵坐标为+1，

横坐标为2+2016×1=2018，

所以，点A的对应点A′的坐标是，

故答案为：．

18.考点：    规律型：点的坐标；等边三角形的性质．

分析：    由图可知：纵坐标都为0，点A1的横坐标为0.5，点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，…由此得出点An的横坐标为2n﹣1﹣0.5，解决问题．

解答：    解：∵点A1的横坐标为0.5=1﹣0.5，

点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，

点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，

点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，

…

∴点An的横坐标为2n﹣1﹣0.5，纵坐标都为0，

∴点An的坐标为（2n﹣1﹣0.5，0）．

故答案为：（2n﹣1﹣0.5，0）．

点评：    此题考查点的坐标规律，等边三角形的性质，找出点的横坐标变化的规律是解决问题的关键．

三       、解答题

19.证明：如图，过D作DG∥AC交BC于G，

则∠GDF=∠E，

∠DGB=∠ACB，

在△DFG和△EFC中，

∴△DFG≌△EFC(ASA)．

∴CE=GD，∵BD=CE.∴BD=GD.

∴∠B=∠DGB.∴∠B=∠ACB.

∴△ABC为等腰三角形．

20.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．

【解答】证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△ABD与△ACE中，

∵，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C．

21.解析:作图中的最短问题,通常是利用“两点之间线段最短”.作法:连接AB交直线于点P,则P即为所求

22.证明：∵AB=AC，∠A=36º

∴∠ABC=∠C=72º

∵MN为AB的中垂线

∴AD=BD

则∠A=∠1=36º

∴∠2=36º，∠BDC=180º-36º-72º=72º，因此，BD平分∠ABC

△BCD为等腰三角形

23.【考点】等腰三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；

（2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．

【解答】（1）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵∠C+∠BAC+∠B=180°，

∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；

（2）证明：∵∠DAB=45°，

∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，

∴∠DAC=∠ADC，

∴DC=AC，

∴DC=AB．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理　　

24.考点： 作图-轴对称变换．

分析： （1）分别找到y轴右侧与y轴左侧的点在同一水平线上，且到y轴的距离相等的点，顺次连接即可；

（2）根据点所在的象限及距离y轴，x轴的距离分别写出各点坐标即可；

（3）易得此三角形的底边为5，高为3，利用三角形的面积公式计算即可．

解答： 解：（1）

；

A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；

（3）∵A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3），

∴AB=5，AB边上的高为3，

∴S△ABC=．

点评： 用到的知识点为：两点关于某条直线对称，那么这两点的连线被对称轴垂直平分；三角形的面积等于底×高÷2．

25.证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAE=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，，

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

26.考点：    全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．

分析：    （1）先证出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出AD=BE；

（2）由（1）证得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通过等量代换得到∠DCB=∠EBC，有内错角相等得到CD∥BE；

（3）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因为点A，D，E在同一直线上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

解答：    解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°﹣∠CDB=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）由（1）证得△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，

∴∠ADC=∠BEC=120°，

∵∠DCB=60°﹣∠BCE，∠CBE=180°﹣∠BEC﹣∠ECB=60°﹣∠ECB，

∴∠DCB=∠EBC，

∴CD∥BE；

（3））∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

点评：    此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．