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上海市静安区2020-2021学年八年级下学期数学期末试题（word版 含答案）
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这是一份上海市静安区2020-2021学年八年级下学期数学期末试题（word版 含答案），共24页。
2020-2021学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题(本大题共6题,每题3分,满分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】
1．下列方程属于二项方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．﹣5＝0 C．x﹣＝0 D．x3﹣x＝1
2．直线y＝2x﹣1的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．下列方程中有实数解的方程是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．＝x C．＝ D．+1＝0
4．下列关于向量的运算中，错误的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝+（﹣）
C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+
5．下列说法正确的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于0且小于1
B．“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件
C．不确定事件发生的概率为0.5
D．“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件
6．下列命题为假命题的是（ ）
A．四个内角相等的四边形是矩形
B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（a2）3＝ ．
8．已知一次函数y＝（k﹣1）x+1的图象经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是 ．
9．函数的定义域是 ．
10．方程＝2﹣x的根是 ．
11．已知方程x2+＝2x﹣2，如果设y＝x2﹣2x，那么原方程可化为关于y的方程，该方程是 ．
12．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是 ．
13．现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是 ．
14．某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程： ．
15．如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．
16．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 ．
17．过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线l，分别交直线AB、CD于点E、F，AE＝3AB，如果AB＝a，那么DF的长是 ．（用含有a的代数式表示）
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为 ．
三、解答题(本大题共8题,满分66分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸上】
19．（6分）解方程：+1＝﹣．
20．（6分）解方程组：．
21．（8分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升．
（1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由．
22．（8分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝FD，设＝，＝，＝．
（1）试用向量、、表示下列向量：＝ ，＝ ，＝ ；
（2）求作：+﹣．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
23．（8分）我国水资源人均占有量远低于世界平均水平．某小区居民响应号召节约用水，现在日均用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用水量多少吨．
24．（8分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
25．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE．
26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 ．（请将答案直接填写在空格内）
2020-2021学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6题,每题3分,满分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】
1．下列方程属于二项方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．﹣5＝0 C．x﹣＝0 D．x3﹣x＝1
【分析】根据二项方程的定义去判断和排除选项．如果一元n次方程（n是正整数）的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．
【解答】解：B选项未知数x的次数不是正整数，所以不符合．
C选项除了含有x的1次项还含有﹣1次项，所以不符合．
D选项除了常数项以外，含有x的3次项和1次项，所以不符合．
根据定义可以判断x+1＝0是符合的，故选：A．
2．直线y＝2x﹣1的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝2x﹣1＝﹣1，
∴直线y＝2x﹣1的截距为﹣1．
故选：B．
3．下列方程中有实数解的方程是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．＝x C．＝ D．+1＝0
【分析】根据根的判别式即可判断A；方程两边平方，求出方程的解，即可判断B；先去分母，再进行检验，即可判断C；移项得出＝﹣1，再根据算术平方根的非负性即可判断D．
【解答】解：A．x2+2x+3＝0，
△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
所以方程无实数解，故本选项不符合题意；
B．∵＝x，
∴x＝x2，
∴x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
解得：x＝0或1，
经检验x＝0或1都是原方程的解，即方程有实数解，所以方程有实数解，故本选项符合题意；
C．＝，
去分母，得1＝x，
即x＝1，
当x＝1时，x﹣1＝0，所以x＝1是增根，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D．∵+1＝0，
∴＝﹣1，
∴方程无解（算术平方根是非负数），即方程无实数解，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．下列关于向量的运算中，错误的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝+（﹣）
C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+
【分析】根据平面向量的加法的交换律与结合律判断即可．
【解答】解：A、+＝+，正确，本选项不符合题意．
B、﹣＝+（﹣），正确，本选项不符合题意．
C、+（﹣）＝0，错误应该等于，本选项符合题意．
D、+（+）＝（+）+，本选项不符合题意．
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于0且小于1
B．“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件
C．不确定事件发生的概率为0.5
D．“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件
【分析】根据随机事件、矩形的判定以及概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、随机事件发生的概率大于0，小于1，故本选项正确，符合题意；
B、“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形不能确定”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故本选项错误，不符合题意；
D、“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
6．下列命题为假命题的是（ ）
A．四个内角相等的四边形是矩形
B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四个内角相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；
B、对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；
D、两组邻边分别相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意，
故选：D．
二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（a2）3＝ a6 ．
【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可．
【解答】解：原式＝a6．
故答案为a6．
8．已知一次函数y＝（k﹣1）x+1的图象经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k﹣1＞0．
解得：k＞1，
故答案为：k＞1．
9．函数的定义域是 x＞1 ．
【分析】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
10．方程＝2﹣x的根是 x＝0 ．
【分析】两边平方得出x+4＝（2﹣x）2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：＝2﹣x，
两边平方，得x+4＝（2﹣x）2，
整理得：x2﹣5x＝0，
解得：x＝0或5，
经检验x＝0是原方程的解，x＝5不是原方程的解，
故答案为：x＝0．
11．已知方程x2+＝2x﹣2，如果设y＝x2﹣2x，那么原方程可化为关于y的方程，该方程是 y2+2y+1＝0 ．
【分析】先将方程x2+＝2x﹣2，变形为x2﹣2x++2＝0，再设y＝x2﹣2x，则＝，原方程可变为关于y的方程，进而化成整式方程即可．
【解答】解：方程x2+＝2x﹣2，即方程x2﹣2x++2＝0，
设y＝x2﹣2x，则＝，原方程可变为，
y++2＝0，
去分母得，y2+2y+1＝0，
故答案为：y2+2y+1＝0．
12．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是 y＜﹣2 ．
【分析】根据一次函数过（2，0），（0，﹣4）求出k的值，得到一次函数解析式，然后用y表示x，再解关于x的不等式即可．
【解答】解：一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，﹣4），
∴b＝﹣4，与x轴点（2，0），
∴0＝2k﹣4，
∴k＝2，
∴y＝kx+b＝2x﹣4，
∴x＝（y+4）÷2＜1，
∴y＜﹣2．
故答案为y＜﹣2．
13．现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是 ．
【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1、2、3、4表示，
列表如下：
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种，
则P两个都为中心对称图形＝＝．
故答案为：．
14．某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程： 20（1+x） 2＝25． ．
【分析】设每年增长率为x，根据第一年绿化面积是20万亩，则第二年绿化面积20（1+x）万亩，第三年绿化面积20（1+x） 2万亩，得出等式方程即可．
【解答】解：设每年增长率为x，则第二年绿化面积20（1+x）万亩，第三年绿化面积20（1+x） 2万亩，
根据题意得出：20（1+x） 2＝25．
故答案为：20（1+x） 2＝25．
15．如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 540 度．
【分析】一个多边形的一个顶点出发，一共可作2条对角线，则这个多边形是五边形．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：多边形的边数是2+3＝5，
则内角和是（5﹣2）×180＝540°．
故答案是：540．
16．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 6 ．
【分析】过点D作DG⊥BC于G，根据矩形的性质得到HG＝AD＝3，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BH，根据梯形的中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DG⊥BC于G，
∵AH⊥BC，
∴AH∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形AHGD为平行四边形，
∵DG⊥BC，
∴平行四边形AHGD为矩形，
∴HG＝AD＝3，
在Rt△ABH中，∠B＝30°，AH＝，
∴AB＝2AH＝2，
由勾股定理得：BH＝＝＝3，
同理可得：GC＝3，
∴BC＝BH+HG+GC＝9，
∴梯形的中位线长＝×（3+9）＝6，
故答案为：6．
17．过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线l，分别交直线AB、CD于点E、F，AE＝3AB，如果AB＝a，那么DF的长是 4a或2a ．（用含有a的代数式表示）
【分析】根据直线l分别交直线AB、CD于点E、F，AE＝3AB，可知点E可能在在BA的延长线上或点E在AB的延长线上．因此，需要方两种情况讨论．再依据全等三角形的对应边相等，即可得到DF的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图1所示，当点E在BA的延长线上时，AE＝3AB＝3a，
∴BE＝AB+AE＝4a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴DF＝BE＝4a；
②如图2所示，当点E在AB的延长线上时，AE＝3AB＝3a，
∴BE＝AE﹣AB＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴DF＝BE＝2a；
综上所述，DF的长为4a或2a．
故答案为：4a或2a．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为 5 ．
【分析】如图，连接BQ交AP于O．首先证明四边形APCR是平行四边形，再证明BP＝CP＝5，可得结论．
【解答】解：如图，连接BQ交AP于O．
∵PC＝AR，PC∥AR，
∴四边形APCR是平行四边形，
∴AP∥CR，
∵B，Q关于AP对称，
∴OB＝OQ，
∴BP＝CP＝5，
在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，AB＝10，BP＝5，
∴AP＝＝＝5．
故答案为：5．
三、解答题(本大题共8题,满分66分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸上】
19．（6分）解方程：+1＝﹣．
【分析】方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得出2（x+2）+（x+2）（x﹣2）＝x﹣2+4x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：原方程化为：+1＝+，
方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+（x+2）（x﹣2）＝x﹣2+4x，
整理，得x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝2，x2＝1，
经检验x1＝2是增根，舍去，x2＝1是原方程的解，
所以原方程的解是x＝1．
20．（6分）解方程组：．
【分析】先分别对两个二次方程的左边进行因式分解，把二次方程转化为一次方程．
【解答】解：先对方程①进行因式分解得：
（x﹣y）2＝4，
（x﹣y）2﹣4＝0，
（x﹣y）2﹣22＝0，
（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）＝0，
∴x﹣y+2＝0或x﹣y﹣2＝0．
由方程②得：
x（x+y﹣1）＝0，
∴x＝0或x+y﹣1＝0．
∴所以原方程转化为：
或者或者或者．
所以原方程组的解：或者或者或者．
21．（8分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升．
（1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由．
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求解即可；
（2）把y＝10代入（1）的关系式，求出x的值即可判断．
【解答】解：1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
，
解得，
∴y＝（0＜x≤600）；
（2）不能在亮灯提示前行驶至此加油站，理由如下：
当y＝10时，，
解得x＝480，
即当油箱中的剩余油量为10升时，该车行驶路程为480千米，
因为480＜500，所以该车在加满油后，不能在亮灯提示前行驶至此加油站．
22．（8分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝FD，设＝，＝，＝．
（1）试用向量、、表示下列向量：＝ ﹣ ，＝ ﹣ ，＝ ﹣﹣ ；
（2）求作：+﹣．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
【分析】（1）首先证明四边形AECF是平行四边形，推出CE＝AF，CE∥CF，再分别利用三角形法则求解即可．
（2）构造平行四边形BECT，连接DT即可．
【解答】解：（1）如图，设AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EC＝AF，AF∥EC，
∴＝+＝﹣，
∴＝+＝﹣，
∴＝+＝﹣﹣，
故答案为：﹣，﹣，﹣﹣，
（2）如图，作CT∥EB，且CT＝BE，连接BT，DT，则即为所求．
23．（8分）我国水资源人均占有量远低于世界平均水平．某小区居民响应号召节约用水，现在日均用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用水量多少吨．
【分析】根据“300吨的水比原来400吨还可多用10天”列出方程求解即可．
【解答】解：设该小区原日均用水量为x吨，则现在日均用水量为（x﹣3）吨，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝8或x＝﹣15（舍去），
经检验x＝8是原方程的解，
答：该小区原日均用水量为8吨．
24．（8分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
【分析】（1）根据k＝xy得到k＝2m＝6×2即可算出点A的坐标，把A、B两点的坐标代入一次函数表达式y＝ax+b中，解方程组即可得出答案；
（2）设直线AB与x轴的交点为C，求得C的坐标，根据三角形面积公式，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得△AOB的面积，然后根据S△AOB＝OB•AH求得AH．
【解答】解：（1）设反比例函数为y＝，
∵点A（2，m）和点B（6，2）在y＝的图象上
∴k＝2m＝6×2
解得m＝6，，
∴点A的坐标为（2，6），
设直线AB的表达式为y＝ax+b，
把A（2，6）和B（6，2）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；
（2）设直线AB与x轴的交点为C，
在直线AB为y＝﹣x+8中，令y＝0，则x＝8，
∴C（8，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝16，
∵B（6，2），
∴OB＝＝2，
∵S△AOB＝OB•AH＝16，
∴AH＝＝．
25．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE．
【分析】（1）证△AOB≌△COD（ASA），得BO＝DO，再由AO＝CO，得四边形ABCD是平行四边形，然后证AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点E作EF⊥BD于F，证△ABD是等腰直角三角形，得∠ABD＝45°，再证△BEF是等腰直角三角形，得FE＝FB，然后证△ADE≌△FDE（AAS），得AD＝FD，AE＝FE，则AE＝FB，即可得出结论．
【解答】证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AO＝BO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EF⊥BD于F，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝∠EFD＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴FE＝FB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
，
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AD＝FD，AE＝FE，
∴AE＝FB，
∵BD＝FD+FB，
∴BD＝AD+AE．
26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 8或或6 ．（请将答案直接填写在空格内）
【分析】（1）连结AC，证明△ACE≌△ACF，得到相等的角，再由平行线的性质证明∠ACB＝∠CAB，从而得AB＝CB，由菱形的定义判定四边形ABCD是菱形；
（2）连结AC，交BD于点H，作AG⊥BC于点G，由菱形的面积及边长求出菱形的高AG，再求BG的长，由勾股定理列出关于x、y的等式，整理得到y关于x的函数解析式；
（3）以AB为腰的等腰三角形ABP分三种情况，其中有两种情况是等腰三角形ABP与△ABD或△ABC全等，另一种情况可由（2）中求得的菱形ABCD的高AG求出BG的长，再求等腰三角形ABP的底边长．
【解答】（1）证明：如图1，连结AC，
∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠ACE＝∠ACF，
即∠ACB＝∠ACD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）如图2，连结AC，交BD于点H，作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝∠AGE＝90°，
由（1）得，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝5，BH＝BD＝×8＝4，
∴AH＝＝3，
∴AC＝2AH＝2×3＝6，
∴S菱形ABCD＝×8×6＝24，
由BC•AG＝24，且BC＝AB＝5，得5AG＝24，
解得AG＝；
∴BG＝＝，
∴EG＝|x﹣|，
由AE＝，且AE＝AF＝y，得y＝＝，
∵点E在BC边上且不与点B、C重合，
∴0＜x＜5，
∴y关于x的函数解析式为y＝（0＜x＜5），
（3）如图3，AB＝AP，且点P在FA的延长线上，
∵AF＝AE＝5，AB＝AD＝5，
∴AF＝AD，
∴∠AFD＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠AFD＝∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠BAF＝∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠PAB+∠BAF＝180°，
∴∠PAB＝∠BAD，
∵AP＝AB，AB＝AD，
∴△APB≌△ABD（SAS），
∴PB＝BD＝8，
即等腰三角形ABP的底边长为8；
如图4，AB＝PB，作BM⊥AF于点M，AG⊥BC于点G，则∠AMB＝∠BGA＝90°，
∵∠BAF＝∠ABC，
∴∠BAM＝∠ABG，
∵AB＝BA，
∴△BAM≌△ABG（AAS），
∴AM＝BG，
由（2）得，BG＝，
∴AM＝BG＝，
∴AP＝2AM＝2×＝，
即等腰三角形ABP的底边长为；
如图5，AP＝AB，点P与点F重合，连结AC，
∵∠BAF＝∠ABC，AF＝AB，AB＝BC，
∴△BAF≌△ABC（SAS），
∴FB＝AC＝6，
即BP＝6，
∴等腰三角形ABP的底边长为6．
综上所述，以AB为腰的等腰三角形ABP的底边长为8或或6，
故答案为：8或或6．
2020-2021学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题(本大题共6题,每题3分,满分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】
1．下列方程属于二项方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．﹣5＝0 C．x﹣＝0 D．x3﹣x＝1
2．直线y＝2x﹣1的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．下列方程中有实数解的方程是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．＝x C．＝ D．+1＝0
4．下列关于向量的运算中，错误的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝+（﹣）
C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+
5．下列说法正确的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于0且小于1
B．“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件
C．不确定事件发生的概率为0.5
D．“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件
6．下列命题为假命题的是（ ）
A．四个内角相等的四边形是矩形
B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（a2）3＝ ．
8．已知一次函数y＝（k﹣1）x+1的图象经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是 ．
9．函数的定义域是 ．
10．方程＝2﹣x的根是 ．
11．已知方程x2+＝2x﹣2，如果设y＝x2﹣2x，那么原方程可化为关于y的方程，该方程是 ．
12．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是 ．
13．现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是 ．
14．某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程： ．
15．如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．
16．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 ．
17．过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线l，分别交直线AB、CD于点E、F，AE＝3AB，如果AB＝a，那么DF的长是 ．（用含有a的代数式表示）
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为 ．
三、解答题(本大题共8题,满分66分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸上】
19．（6分）解方程：+1＝﹣．
20．（6分）解方程组：．
21．（8分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升．
（1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由．
22．（8分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝FD，设＝，＝，＝．
（1）试用向量、、表示下列向量：＝ ，＝ ，＝ ；
（2）求作：+﹣．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
23．（8分）我国水资源人均占有量远低于世界平均水平．某小区居民响应号召节约用水，现在日均用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用水量多少吨．
24．（8分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
25．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE．
26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 ．（请将答案直接填写在空格内）
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参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6题,每题3分,满分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】
1．下列方程属于二项方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．﹣5＝0 C．x﹣＝0 D．x3﹣x＝1
【分析】根据二项方程的定义去判断和排除选项．如果一元n次方程（n是正整数）的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．
【解答】解：B选项未知数x的次数不是正整数，所以不符合．
C选项除了含有x的1次项还含有﹣1次项，所以不符合．
D选项除了常数项以外，含有x的3次项和1次项，所以不符合．
根据定义可以判断x+1＝0是符合的，故选：A．
2．直线y＝2x﹣1的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝2x﹣1＝﹣1，
∴直线y＝2x﹣1的截距为﹣1．
故选：B．
3．下列方程中有实数解的方程是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．＝x C．＝ D．+1＝0
【分析】根据根的判别式即可判断A；方程两边平方，求出方程的解，即可判断B；先去分母，再进行检验，即可判断C；移项得出＝﹣1，再根据算术平方根的非负性即可判断D．
【解答】解：A．x2+2x+3＝0，
△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
所以方程无实数解，故本选项不符合题意；
B．∵＝x，
∴x＝x2，
∴x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
解得：x＝0或1，
经检验x＝0或1都是原方程的解，即方程有实数解，所以方程有实数解，故本选项符合题意；
C．＝，
去分母，得1＝x，
即x＝1，
当x＝1时，x﹣1＝0，所以x＝1是增根，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D．∵+1＝0，
∴＝﹣1，
∴方程无解（算术平方根是非负数），即方程无实数解，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．下列关于向量的运算中，错误的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝+（﹣）
C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+
【分析】根据平面向量的加法的交换律与结合律判断即可．
【解答】解：A、+＝+，正确，本选项不符合题意．
B、﹣＝+（﹣），正确，本选项不符合题意．
C、+（﹣）＝0，错误应该等于，本选项符合题意．
D、+（+）＝（+）+，本选项不符合题意．
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于0且小于1
B．“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件
C．不确定事件发生的概率为0.5
D．“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件
【分析】根据随机事件、矩形的判定以及概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、随机事件发生的概率大于0，小于1，故本选项正确，符合题意；
B、“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形不能确定”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故本选项错误，不符合题意；
D、“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
6．下列命题为假命题的是（ ）
A．四个内角相等的四边形是矩形
B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四个内角相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；
B、对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；
D、两组邻边分别相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意，
故选：D．
二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（a2）3＝ a6 ．
【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可．
【解答】解：原式＝a6．
故答案为a6．
8．已知一次函数y＝（k﹣1）x+1的图象经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k﹣1＞0．
解得：k＞1，
故答案为：k＞1．
9．函数的定义域是 x＞1 ．
【分析】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
10．方程＝2﹣x的根是 x＝0 ．
【分析】两边平方得出x+4＝（2﹣x）2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：＝2﹣x，
两边平方，得x+4＝（2﹣x）2，
整理得：x2﹣5x＝0，
解得：x＝0或5，
经检验x＝0是原方程的解，x＝5不是原方程的解，
故答案为：x＝0．
11．已知方程x2+＝2x﹣2，如果设y＝x2﹣2x，那么原方程可化为关于y的方程，该方程是 y2+2y+1＝0 ．
【分析】先将方程x2+＝2x﹣2，变形为x2﹣2x++2＝0，再设y＝x2﹣2x，则＝，原方程可变为关于y的方程，进而化成整式方程即可．
【解答】解：方程x2+＝2x﹣2，即方程x2﹣2x++2＝0，
设y＝x2﹣2x，则＝，原方程可变为，
y++2＝0，
去分母得，y2+2y+1＝0，
故答案为：y2+2y+1＝0．
12．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是 y＜﹣2 ．
【分析】根据一次函数过（2，0），（0，﹣4）求出k的值，得到一次函数解析式，然后用y表示x，再解关于x的不等式即可．
【解答】解：一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，﹣4），
∴b＝﹣4，与x轴点（2，0），
∴0＝2k﹣4，
∴k＝2，
∴y＝kx+b＝2x﹣4，
∴x＝（y+4）÷2＜1，
∴y＜﹣2．
故答案为y＜﹣2．
13．现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是 ．
【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1、2、3、4表示，
列表如下：
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种，
则P两个都为中心对称图形＝＝．
故答案为：．
14．某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程： 20（1+x） 2＝25． ．
【分析】设每年增长率为x，根据第一年绿化面积是20万亩，则第二年绿化面积20（1+x）万亩，第三年绿化面积20（1+x） 2万亩，得出等式方程即可．
【解答】解：设每年增长率为x，则第二年绿化面积20（1+x）万亩，第三年绿化面积20（1+x） 2万亩，
根据题意得出：20（1+x） 2＝25．
故答案为：20（1+x） 2＝25．
15．如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 540 度．
【分析】一个多边形的一个顶点出发，一共可作2条对角线，则这个多边形是五边形．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：多边形的边数是2+3＝5，
则内角和是（5﹣2）×180＝540°．
故答案是：540．
16．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 6 ．
【分析】过点D作DG⊥BC于G，根据矩形的性质得到HG＝AD＝3，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BH，根据梯形的中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DG⊥BC于G，
∵AH⊥BC，
∴AH∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形AHGD为平行四边形，
∵DG⊥BC，
∴平行四边形AHGD为矩形，
∴HG＝AD＝3，
在Rt△ABH中，∠B＝30°，AH＝，
∴AB＝2AH＝2，
由勾股定理得：BH＝＝＝3，
同理可得：GC＝3，
∴BC＝BH+HG+GC＝9，
∴梯形的中位线长＝×（3+9）＝6，
故答案为：6．
17．过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线l，分别交直线AB、CD于点E、F，AE＝3AB，如果AB＝a，那么DF的长是 4a或2a ．（用含有a的代数式表示）
【分析】根据直线l分别交直线AB、CD于点E、F，AE＝3AB，可知点E可能在在BA的延长线上或点E在AB的延长线上．因此，需要方两种情况讨论．再依据全等三角形的对应边相等，即可得到DF的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图1所示，当点E在BA的延长线上时，AE＝3AB＝3a，
∴BE＝AB+AE＝4a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴DF＝BE＝4a；
②如图2所示，当点E在AB的延长线上时，AE＝3AB＝3a，
∴BE＝AE﹣AB＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴DF＝BE＝2a；
综上所述，DF的长为4a或2a．
故答案为：4a或2a．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为 5 ．
【分析】如图，连接BQ交AP于O．首先证明四边形APCR是平行四边形，再证明BP＝CP＝5，可得结论．
【解答】解：如图，连接BQ交AP于O．
∵PC＝AR，PC∥AR，
∴四边形APCR是平行四边形，
∴AP∥CR，
∵B，Q关于AP对称，
∴OB＝OQ，
∴BP＝CP＝5，
在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，AB＝10，BP＝5，
∴AP＝＝＝5．
故答案为：5．
三、解答题(本大题共8题,满分66分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸上】
19．（6分）解方程：+1＝﹣．
【分析】方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得出2（x+2）+（x+2）（x﹣2）＝x﹣2+4x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：原方程化为：+1＝+，
方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+（x+2）（x﹣2）＝x﹣2+4x，
整理，得x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝2，x2＝1，
经检验x1＝2是增根，舍去，x2＝1是原方程的解，
所以原方程的解是x＝1．
20．（6分）解方程组：．
【分析】先分别对两个二次方程的左边进行因式分解，把二次方程转化为一次方程．
【解答】解：先对方程①进行因式分解得：
（x﹣y）2＝4，
（x﹣y）2﹣4＝0，
（x﹣y）2﹣22＝0，
（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）＝0，
∴x﹣y+2＝0或x﹣y﹣2＝0．
由方程②得：
x（x+y﹣1）＝0，
∴x＝0或x+y﹣1＝0．
∴所以原方程转化为：
或者或者或者．
所以原方程组的解：或者或者或者．
21．（8分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升．
（1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由．
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求解即可；
（2）把y＝10代入（1）的关系式，求出x的值即可判断．
【解答】解：1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
，
解得，
∴y＝（0＜x≤600）；
（2）不能在亮灯提示前行驶至此加油站，理由如下：
当y＝10时，，
解得x＝480，
即当油箱中的剩余油量为10升时，该车行驶路程为480千米，
因为480＜500，所以该车在加满油后，不能在亮灯提示前行驶至此加油站．
22．（8分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝FD，设＝，＝，＝．
（1）试用向量、、表示下列向量：＝ ﹣ ，＝ ﹣ ，＝ ﹣﹣ ；
（2）求作：+﹣．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
【分析】（1）首先证明四边形AECF是平行四边形，推出CE＝AF，CE∥CF，再分别利用三角形法则求解即可．
（2）构造平行四边形BECT，连接DT即可．
【解答】解：（1）如图，设AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EC＝AF，AF∥EC，
∴＝+＝﹣，
∴＝+＝﹣，
∴＝+＝﹣﹣，
故答案为：﹣，﹣，﹣﹣，
（2）如图，作CT∥EB，且CT＝BE，连接BT，DT，则即为所求．
23．（8分）我国水资源人均占有量远低于世界平均水平．某小区居民响应号召节约用水，现在日均用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用水量多少吨．
【分析】根据“300吨的水比原来400吨还可多用10天”列出方程求解即可．
【解答】解：设该小区原日均用水量为x吨，则现在日均用水量为（x﹣3）吨，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝8或x＝﹣15（舍去），
经检验x＝8是原方程的解，
答：该小区原日均用水量为8吨．
24．（8分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
【分析】（1）根据k＝xy得到k＝2m＝6×2即可算出点A的坐标，把A、B两点的坐标代入一次函数表达式y＝ax+b中，解方程组即可得出答案；
（2）设直线AB与x轴的交点为C，求得C的坐标，根据三角形面积公式，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得△AOB的面积，然后根据S△AOB＝OB•AH求得AH．
【解答】解：（1）设反比例函数为y＝，
∵点A（2，m）和点B（6，2）在y＝的图象上
∴k＝2m＝6×2
解得m＝6，，
∴点A的坐标为（2，6），
设直线AB的表达式为y＝ax+b，
把A（2，6）和B（6，2）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；
（2）设直线AB与x轴的交点为C，
在直线AB为y＝﹣x+8中，令y＝0，则x＝8，
∴C（8，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝16，
∵B（6，2），
∴OB＝＝2，
∵S△AOB＝OB•AH＝16，
∴AH＝＝．
25．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE．
【分析】（1）证△AOB≌△COD（ASA），得BO＝DO，再由AO＝CO，得四边形ABCD是平行四边形，然后证AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点E作EF⊥BD于F，证△ABD是等腰直角三角形，得∠ABD＝45°，再证△BEF是等腰直角三角形，得FE＝FB，然后证△ADE≌△FDE（AAS），得AD＝FD，AE＝FE，则AE＝FB，即可得出结论．
【解答】证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AO＝BO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EF⊥BD于F，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝∠EFD＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴FE＝FB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
，
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AD＝FD，AE＝FE，
∴AE＝FB，
∵BD＝FD+FB，
∴BD＝AD+AE．
26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 8或或6 ．（请将答案直接填写在空格内）
【分析】（1）连结AC，证明△ACE≌△ACF，得到相等的角，再由平行线的性质证明∠ACB＝∠CAB，从而得AB＝CB，由菱形的定义判定四边形ABCD是菱形；
（2）连结AC，交BD于点H，作AG⊥BC于点G，由菱形的面积及边长求出菱形的高AG，再求BG的长，由勾股定理列出关于x、y的等式，整理得到y关于x的函数解析式；
（3）以AB为腰的等腰三角形ABP分三种情况，其中有两种情况是等腰三角形ABP与△ABD或△ABC全等，另一种情况可由（2）中求得的菱形ABCD的高AG求出BG的长，再求等腰三角形ABP的底边长．
【解答】（1）证明：如图1，连结AC，
∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠ACE＝∠ACF，
即∠ACB＝∠ACD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）如图2，连结AC，交BD于点H，作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝∠AGE＝90°，
由（1）得，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝5，BH＝BD＝×8＝4，
∴AH＝＝3，
∴AC＝2AH＝2×3＝6，
∴S菱形ABCD＝×8×6＝24，
由BC•AG＝24，且BC＝AB＝5，得5AG＝24，
解得AG＝；
∴BG＝＝，
∴EG＝|x﹣|，
由AE＝，且AE＝AF＝y，得y＝＝，
∵点E在BC边上且不与点B、C重合，
∴0＜x＜5，
∴y关于x的函数解析式为y＝（0＜x＜5），
（3）如图3，AB＝AP，且点P在FA的延长线上，
∵AF＝AE＝5，AB＝AD＝5，
∴AF＝AD，
∴∠AFD＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠AFD＝∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠BAF＝∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠PAB+∠BAF＝180°，
∴∠PAB＝∠BAD，
∵AP＝AB，AB＝AD，
∴△APB≌△ABD（SAS），
∴PB＝BD＝8，
即等腰三角形ABP的底边长为8；
如图4，AB＝PB，作BM⊥AF于点M，AG⊥BC于点G，则∠AMB＝∠BGA＝90°，
∵∠BAF＝∠ABC，
∴∠BAM＝∠ABG，
∵AB＝BA，
∴△BAM≌△ABG（AAS），
∴AM＝BG，
由（2）得，BG＝，
∴AM＝BG＝，
∴AP＝2AM＝2×＝，
即等腰三角形ABP的底边长为；
如图5，AP＝AB，点P与点F重合，连结AC，
∵∠BAF＝∠ABC，AF＝AB，AB＝BC，
∴△BAF≌△ABC（SAS），
∴FB＝AC＝6，
即BP＝6，
∴等腰三角形ABP的底边长为6．
综上所述，以AB为腰的等腰三角形ABP的底边长为8或或6，
故答案为：8或或6．
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