人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时练习

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直线与圆锥曲线之弦长与面积考向一  直线与圆锥曲线之弦长1、设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的长度．答案：（1）（2） 解析：（1）设的坐标为 ，的坐标为 由已知得 ，∵在圆上，即的方程为 （2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得，即 .已知椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ直线与椭圆相交于两点，求弦长．答案：(1)       (2) 解析:Ⅰ椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为. 故要求的椭圆的方程为.Ⅱ把直线代入椭圆的方程化简可得设直线与椭圆的交点为，,已知椭圆经过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）或. 解析：（Ⅰ）由题意得 ，解得.故椭圆的方程是.（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去，得.则有， . .设的中点为，则∵直线与直线垂直，，整理得.∴.又∵，解得或.与矛盾，， .故直线的方程为或.3、已知椭圆：的离心率为,过点的直线交椭圆于两点，，且当直线垂直于轴时， (1)求椭圆的方程；(2)若，求弦长的取值范围．答案：（1） ;  (2) 解析：　(1)由已知，又当直线垂直于轴时，，所以椭圆过点 ，代入椭圆方程得，联立方程可得,∴椭圆的方程为(2)当过点的直线斜率为0时，点分别为椭圆长轴的端点，或，不符合题意．∴直线的斜率不能为.设直线方程为,,将直线方程代入椭圆方程得：,由根与系数的关系可得， 可得：由已知可知，∴又知，∴;∴，解得．,∵，∴，∴.  4、在平面直角坐标系中，点、分别为：的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线上.不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.（1）求动点的轨迹方程；（2）在动点的轨迹上有两个不同的点、，线段的中点为，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时的形状.【答案】（1）；（2）；为直角三角形.【解析】（1）设点、分别为，，由已知，所以，，，又因为点在双曲线上，所以，则，即，解得，.所以.连接，因为，，所以四边形为平行四边形，因为四边形的周长为，所以.所以动点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆（除去左右顶点）.可得动点的轨迹方程为：（2）因为，，，所以，所以.等号当且仅当，即，所以，即为直角三角形.  考向二  直线与圆锥曲线之面积1、已知抛物线上一点到焦点的距离为5.(1)求抛物线的方程；(2)直线与圆相切且与抛物线相交于两点，若的面积为4(为坐标原点)，求直线的方程．（1）由抛物线的定义知，所以，p＝2，因此，抛物线E的方程为y2＝4x；（2）由题意知，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为x＝my+n．∵直线l与圆C相切，又圆C的圆心为（2，0），所以，，∴4m2＝n2﹣4n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去x得，y2﹣4my﹣4n＝0，由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n．则，又原点O到直线l的距离为，∴，∴，∴（m2+n）n2＝4，又4m2＝n2﹣4n，解得n＝±2．当n＝2时，m2＝﹣1不成立；当n＝﹣2时，m2＝3，∴．经检验，所求直线方程为，即．2、已知椭圆的一个顶点为，离心率为,直线与椭圆交与不同的两点.（2012年北京卷文科）①求椭圆的方程②当△的面积为时，求的值.【答案】（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.（2）由得.设点M,N的坐标分别为，，则，，，.所以|MN|===.由因为点A(2,0)到直线的距离，所以△AMN的面积为. 由，解得. 3、已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点到右焦点的距离为.（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.4、已知：抛物线，过外点作的两条切线，切点分别为、.（Ⅰ）若，求两条切线的方程；（Ⅱ）点是椭圆上的动点，求面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设过点的切线方程为，将其代入，可得，因为直线与抛物线相切，，解得.因此，所求的两条切线的方程为和；（Ⅱ）设、、，由，可得，则切线的方程为，又，即.同理，切线的方程为.又和都过点，.直线方程为，即. 联立，得.,由韦达定理得，.. 点到直线的距离为，的面积.，，，.5、已知椭圆：的离心率为，过的左焦点做轴的垂线交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的标准方程及长轴长；（2）椭圆的短轴的上下端点分别为，，点，满足，且，若直线，分别与椭圆交于，两点，且面积是面积的5倍，求的值.【答案】（1）椭圆的标准方程为：，长轴长为4（2）【解析】（1）因为椭圆的左焦点横坐标为,由及,得,故,又,解得：,所以,椭圆的标准方程为：,长轴长为4.（2）∵,,,且,∴直线的斜率为,直线斜率为,∴直线的方程为,直线的方程为,由得,∴,,∴,由得,∴,,∴；∵,,,,∴,即,又,∴,整理方程得：,解得：.6、已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】 (Ⅰ)由解得 得椭圆的方程为. （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为． 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得因为点在曲线上，所以有整理得由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．