2021学年第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试同步达标检测题

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直线与圆锥曲线之角度问题 考向一  证明或已知一个角为锐角（直角/钝角）1、已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）   （2）或【解析】（1）设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,,所以,所以, 又,,解得,,所以椭圆的标准方程为（2）设点,则,,联立,得,所以,,因为为锐角,所以,所以, 解得或2、已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.（1）证明：点恒在椭圆上.（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】（1）证明：由题意知，设，则.直线的方程为，直线的方程为，联立可得，，即的坐标为.因为，所以点恒在椭圆上.（2）解：当直线的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线的方程为，由对称性可知，若平面内存在定点，使得恒成立，则一定在轴上，故设，由可得.因为直线与椭圆只有一个公共点，所以，所以.又因为，所以，即.所以对于任意的满足的恒成立，所以解得.故在平面内存在定点，使得恒成立. 3、已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）抛物线的焦点为，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，∴椭圆的方程是：；（2）设当直线与轴垂直时，易得：或，又，∴，或者，∴，∴当直线与不垂直时，设直线的方程为：，联方程组，消去整理得：，所以：，又共线，∴，得，同理：，∴，∴又因为∴，则综上，为定值.4、设分别为椭圆的左,右顶点,椭圆的长轴长为,且点在该椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)设为直线上不同于点的任意一点,若直线与椭圆相交于异于的点,证明:为钝角三角形.答案：（1）解析：（1）由题意可得：,即又点在椭圆上，所以椭圆方程为（2）证明：由（1）可得，，设则直线的方程为：由可得：直线与椭圆相交与异于的点，由得：从而又点三点不共线，为钝角，所以为钝角三角形. 考向二  证明两个角相等 1、在直角坐标系中，曲线与直线()交于两点。 （1）当时，分别求在点和处的切线方程； （2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。【解析】： （1），交点坐标为，，切线方程分别为、； （2）设，，设，则有，化简得：=0，直线与抛物线联立得：，由根与系数的关系代入得：，即，即存在点，使得。2、设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点 的坐标为。（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：。【解析】：（1）将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：。（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有即，∴，，，∴，∴。   考向三  可以转化为角度的问题 1、如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，，的方程为.由得.设，，则，∴，，∴抛物线C的方程为.（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），由得，，，.∵直线PM，PN关于x轴对称，∴，，.∴，∴时，此时.②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.2、设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.（1）若过点，且，求的斜率；（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行.【答案】（1）；（2），证明见解析【解析】（1）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，代入抛物线方程可得，即，所以，但，故直线的斜率存在，设其方程为.由得，设，则，所以，解得，所以直线的斜率为.（2）设直线的方程为.由得，则.由，得.又，所以，从而在轴上的截距的取值范围为.，所以直线的斜率互补，从而的平分线始终与轴平行.3、已知椭圆与抛物线有公共弦（在左边），，的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线与、分别交于点、（均异于点、）．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若点在以线段为直径的圆外，求的取值范围．答案：解析：（Ⅰ）∵抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，∴，由AB=2知，代入抛物线得，得，∴=2，的方程为；（Ⅱ）依题意知直线l的方程为，联立消去y得：，则，得，，由，得，由，得，则，得，，∵点A在以MN为直径的圆外，即，∴，又，∴，解得，综上知