人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂检测

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用空间向量解决平行与垂直的证明考向一  用坐标法证明平行问题 1、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【答案】见解析【解析】法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．法二　＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．法三　＝－＝－＝－＝－＝－.即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD． 2、如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F. 求证：PA∥平面EDB；[证明]　以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.设DC＝a.(1)连接AC交BD于点G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E.因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点故点G的坐标为，所以＝(a,0，－a)，＝，则＝2，故PA∥EG.而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.3、如图，在四面体A­BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 求证：PQ∥平面BCD.证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为＝3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P，所以＝.又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.4、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证：EF∥平面PAB；[证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．因为＝－，所以∥，即EF∥AB. 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB. 5、在如图3­2­4所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.图3­2­4[证明]　∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直． 以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.  考向二  用坐标法证明垂直问题 1、在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证： B1D⊥平面ABD；证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.2、如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥平面A1BD． 【答案】见解析【解析】法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．法二：建系同方法一．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则，即令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)，又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n.所以AB1⊥平面A1BD．3、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证：平面PAD⊥平面PDC.[证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.  4、如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．于是＝(0,3,4)，＝(－8，0,0)，所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以⊥，即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以＝＝，又＝(－4，－5,0)，所以＝＋＝，则·＝(0,3,4)·＝0，所以⊥，即AP⊥BM，又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC. 5、如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求证：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，连接PO，∵△PBC为等边三角形，∴PO⊥BC.∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝，∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，∴⊥，∴PA⊥BD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.∵＝，＝(1,0，－)，∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，∴⊥，即DM⊥PB.∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，∴⊥，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.6、如图1，在四棱锥中，底面是正方形，⊥底面，且，是的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．图1                                            图2【答案】见解析【解析】如图2，以A为原点， AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设，则，，，，，易得，设平面的法向量为，则，即取，可得平面的一个法向量为又，所以，所以，所以直线平面方法1：如图2，连接交于点，连接，则点的坐标为易得，，显然，故，所以又⊥底面，所以⊥底面又平面，所以平面平面方法2：易得，设平面的法向量为，则，即取，得，，所以平面的一个法向量为⊥底面，可得是平面的一个法向量因为，所以，所以平面平面 考向三  用坐标法解决探索性问题 1、如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝AA1＝2，D为AC的中点．(1)求证：AB1∥平面BDC1；(2)设AB1的中点为G，问：在矩形BCC1B1内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC1.若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：连接B1C，设B1C∩BC1＝M，连接MD，在△AB1C中，M为B1C中点，D为AC中点，∴DM∥AB1，又∵AB1不在平面BDC1内，DM在平面BDC1内，∴AB1∥平面BDC1.(2)以C1为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．依题意，得C1(0,0,0)，D(1,2,0)，B(0,2,2)，G(1,1,1)，假设存在H(0，m，n)，＝(－1，m－1，n－1)，＝(1,2,0)，＝(－1,0,2)，由GH⊥平面BC1D，得⊥⇒(－1，m－1，n－1)·(1,2,0)＝0⇒m＝.同理，由⊥得n＝，即在矩形BCC1B1内存在点H，使得GH⊥平面BDC1.此时点H到B1C1的距离为，到C1C的距离为.2、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA＝PD＝AD＝2.(1)求证：EF∥平面PBC；(2)在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．　【答案】见解析【解析】(1)证明：如图所示，连接AC.因为底面ABCD是正方形，AC与BD互相平分．F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以EF∥PC.又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.(2)取AD中点O，连接PO.在△PAD中，PA＝PD，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因为OF⊂平面ABCD，所以PO⊥OF.又因为F是AC中点，所以OF⊥AD.以O为原点，OA，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为PA＝PD＝AD＝2，所以OP＝，则C(－1,2,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E，F(0,1,0)．于是＝，＝(1,1,0)．设平面EFD的法向量n＝(x0，y0，z0)．因为所以即令x0＝1，则n＝(1，－1，－)．假设在棱PC上存在一点G，使GF⊥平面EDF.设G(x1，y1，z1)，则＝(x1，y1－1，z1)．因为EDF的一个法向量n＝(1，－1，－)．因为GF⊥平面EDF，所以＝λn.于是即又因为点G在棱PC上，所以与共线．因为＝(－1,2，－)，＝(x1＋1，y1－2，z1)，所以＝＝，即＝＝，无解．故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF.