高中数学第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时作业

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直线与圆锥曲线之定点问题 考向一  直线过定点 1、设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，故满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．答案：（1）；（2）略解析：（1）设，则由得因为在上，所以因此点的轨迹方程为（2）由题意知.设，则由得，又由（1）知，故所以，即又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点2、已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且， 证明:直线过定点.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）椭圆的离心率 由与圆 相切，得 椭圆的方程为： ． （Ⅱ）①若直线的斜率不存在，设方程为，则点 ．由已知 得 ．此时方程为，显然过点 ②若直线的斜率存在，设方程为，依题意 ．设 ，由得则 ，由已知 即 将 代入得故直线的方程为 ，即 ． 直线过定点综上所述，直线过定点.3、已知抛物线过点，其焦点为.(1)求抛物线的方程；(2)设为轴上异于原点的任意一点，过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆相切，切点分别为，求证：直线过定点．答案：(1)；(2)略解析：(1)抛物线的准线方程为，，又，即，，∴抛物线的方程为(2)设点，由已知切线不为轴，设，联立消去，可得,①∵直线与抛物线相切， 即，代入①可得，即.设切点，则由几何性质可以判断点关于直线对称，则解得即 直线的斜率为，直线的方程为 整理得，∴直线恒过定点，当时，，此时直线为，过点．综上，直线恒过定点．4、已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3所以曲线C的方程为（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m）直线MA的方程为：将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，设点D的坐标为（xD，yD），则，故，则直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2）将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0设点E的坐标为（xE，yE），则，故，则HD的斜率为HE的斜率为因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H.5、如图，已知椭圆C：＋y2＝1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．【答案】（1）＋y2＝1（2）证明见解析，定点N.【解析】（1）将圆M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－1）2＝3，圆M的圆心为M（3,1），半径为r＝.由A（0,1），F（c,0）（c＝）得直线AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直线AF与圆M相切得＝.所以c＝或c＝－（舍去）．所以a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.（2）证明：由＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0,1）可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1（k≠0），将y＝kx＋1代入椭圆C的方程＋y2＝1并整理，得（1＋3k2）x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，因此P的坐标为，即.将上式中的k换成－，得Q.所以直线l的方程为y＝·＋，化简得直线l的方程为y＝x－.因此直线l过定点N.6、已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．【思路引导】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.【详解】（1）由已知得，解得，∴椭圆的标准方程，∴椭圆的离心率.(2)设，，则，可设的直线方程为，联立方程，整理得，∴，，∴，整理得，，∴，解得，∴的直线方程为：，直线恒过定点. 考向二  圆过定点 1、已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，的最小值为1．（1）求的值；（2）若点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，（，与点不重合）两点，直线，与抛物线的准线相交于，两点，求以线段为直径的圆所过的定点．【答案】（1）2；（2）以为直径的圆所过定点的坐标为和．【解析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，则，可得，则，故的值为2．（2）由（1）知抛物线的标准方程为，代入可求得，故点的坐标为．设点，的坐标分别为，，直线的方程为，联立方程消去后整理，得，则，，所以直线的斜率为，则直线的方程为，代入，有，可得点的坐标为，同理点的坐标为．由可得中点的坐标为．所以，以为直径的圆的方程为．由对称性知，以为直径的圆若过定点，必在轴上，故当时，，解得或故以为直径的圆所过定点的坐标为和． 2、已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程及的大小.【答案】(1) (2) ，.【解析】解：（1）由得，又∵短轴长为2可得，，∴椭圆的标准方程为：.（2）易知直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，设直线的方程为：，则联立，消元得：，，即.设，，∴，，由题意可知，即：，∴，解得，∴.综上：直线的方程为：，.3、已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)见解析.【解析】 (Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.4、已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【思路引导】 (1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2) 设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线与圆相切得出的关系式,代入证明即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率,所以,即.因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,所以,所以.所以椭圆的方程为.（2）因为直线的斜率存在且不为零.故设直线的方程为.由消去,得,所以设,则.所以.所以.①因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,整理,得,②将②代入①,得,显然以为直径的圆经过定点综上可知,以为直径的圆过定点.