数学选择性必修 第一册3.2 双曲线达标测试

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椭圆的几何性质考向一  双曲线的简单几何性质1、已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（    ）A． 虚轴长为4    B． 焦距为 C． 离心率为     D． 渐近线方程为 【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为，则C错误；对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.故选：D.2、已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，与轴垂直，，且虚轴长为, 则双曲线的标准方程为（　　）A．    B．   C．    D．答案：D解析：由题意，虚轴长为，则，解得，由通径长可知|，，所以，，所以，解得，所以双曲线的标准方程为，故选：D．  考向二  焦点三角形的面积1、已知，分别为双曲线的左右焦点，以圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为，则△的面积为　　A． B． C． D．【分析】由双曲线方程求得右焦点坐标与一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求得圆的半径，得到圆的方程，与双曲线方程联立求得点纵坐标，代入三角形面积公式求解．【解答】解：由双曲线，得，，则，，渐近线方程为，即．到渐近线的距离为，则圆的方程为．联立，解得．．故选：．2、已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，△的面积为，且，则双曲线的实轴的长为　　A．1 B．2 C．4 D．【分析】求得双曲线的渐近线方程，可得，利用双曲线的定义，结合余弦定理和三角形的面积公式可得，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，由一条渐近线方程为，可得，由双曲线定义有，两边平方得①由余弦定理，有，即为②由①②可得，△的面积为，可得，解得，，故选：．3、已知双曲线的左、右焦点为，点在双曲线上且，则点到轴的距离为A.          B.            C.             D. 【答案】B设 ，又，.   即点到轴的距离为.  故选B.4、已知双曲线过点(-2,0)，过左焦点F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，右焦点为F2，若，且=8，则的面积为________．【答案】16【解析】由双曲线过点(-2,0)可得，由过左焦点F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，右焦点为F2，=8，可得=4,设又因为，故是以B为直角的等腰直角三角形，可得 5、（多选）已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（    ）A．点到轴的距离为 B．C．为钝角三角形 D．【答案】BC【解析】因为双曲线，所以.又因为，所以，所以选项A错误；将代入得，即.由对称性，不妨取的坐标为，可知.由双曲线定义可知，所以，所以选项B正确；由对称性，对于上面点，在中，.且，则为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得，，所以选项D错误.故选：BC.6、（多选）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ）A．点的横坐标为B．的周长为C．小于D．的内切圆半径为【答案】ABC【解析】设的内心为，连接，双曲线：中的，，，不妨设，，，由的面积为20，可得，即，由，可得，故A符合题意；由，且，，可得，，则，则，故C符合题意；由，则的周长为，故B符合题意；设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故D不符合题意．故选：ABC．  考向三  双曲线的渐近线1、双曲线的渐近线方程为          ．【答案】 2、在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是     .解析 因为双曲线经过点，
所以，解得，即．
又，所以该双曲线的渐近线方程是．3、求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．（1）解法一：椭圆方程可化为，焦点坐标为，故可设双曲线的方程为其渐近线方程为，则，解得所以所求双曲线的标准方程为解法二：由题意可知另一条渐近线方程为故可设双曲线的方程为，因为双曲线与椭圆共焦点所以，所以所求双曲线的标准方程为（2）由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得，所以所求双曲线的标准方程为4、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线有公共的渐近线，且经过点P(﹣2，)，则双曲线C的焦距为________________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，设双曲线C的方程为，将(﹣2，)代入得则双曲线C的焦距为.5．双曲线： 的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为__________．【答案】【解析】由题意知， ，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.6、已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（   ）A．2                  B．4                   C．6                D．8 答案：D7、已知双曲线 的两个顶点分别为，点为双曲线上除外任意一点，且点与点连线的斜率分别为，若，则双曲线的渐进线方程为 （   ）A．     B．     C．     D． 【答案】C【解析】由题意可得：，设P则，且，即∴即∴双曲线的渐进线方程为故选：C10、双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（   ）A． B． C． D．解析 双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：．故选A．11、已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：为的中点，且，所以，因为，所以，故而由几何性质可得，即，故渐近线方程为，故选B.