高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线达标测试

抛物线的焦点弦与其他几何性质

考向一  抛物线的焦点弦

1、（1）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_______；

（2）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，，则____．

【答案】（1）10；（2）

【解析】（1）设A（x1,y1）,B(x2,y2),则对于抛物线x2=8y,焦点弦长

因为抛物线的焦点坐标为（0,2），，所以直线AB的方程为

将代入抛物线方程，得

（2）设，，，显然直线AB的斜率存在，设为

将直线方程与抛物线方程联立，消去y得①，则

因为，所以，方程①即

解得，，故

2、过抛物线焦点的直线交于点，若线段中点的纵坐标为1，则   。

【答案】5

【解析】抛物线C：y2＝4x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：x＝my+1，

则可得y2﹣4my﹣4＝0，l与C有两个交点A（）、B（），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m＝2，解得m，所以y2﹣2y﹣4＝0的两根满足，，由弦长公式可得=5，

3、过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于       。

【答案】10

【解析】由题抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，p=4，设A、B两点坐标

AB的中点的横坐标为3，即 抛物线的焦点弦：

4、过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为        。

【答案】4

【解析】由抛物线的方程y2=4x可得p=2，故它的焦点F（1，0），准线方程为x=-1．由中点坐标公式可得PQ的中点M（,），由于x1+x2=6，则M到准线的距离为+1=4.

5、已知点为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，与的准线交于点，若，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如下图所示，分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、，

，则点为线段的中点，，

由抛物线的定义可得，，，，

，，，

因此，.

故选：D.

6、直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到准线的距离为_____．

【答案】2

【解析】

试题分析：由题意得，抛物线的焦点坐标为，且准线方程为，直线恰好经过点，设直线与抛物线

7、设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．

【答案】

【解析】

抛物线方程为，

抛物线焦点为，准线为，

设，

因为在第一象限，所以直线的斜率，

设直线方程为，

代入抛物线方程消去，得，

，

过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，

设点的坐标为，可得，

，

，

得到，可得，

，，解之得，

所以，直线方程为，即,

，故答案为.

8、已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则__________.

【答案】

【解析】

根据题意画出图形，设与轴的交点为M，过Q向准线，垂足是N，

∵抛物线，∴焦点为，准线方程为，

∵，

9、（多选）已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（    ）

A．抛物线的准线方程为

B．，则，，成等差数列

C．若，，三点共线，则

D．若，则的中点到轴距离的最小值为2

【答案】ABD

【解析】把点代入抛物线 ，得，所以抛物线的准线方程为，故 A 正确； 

因为 ，所以 ， ， ，又由 ，得，

所以 ，即 ， ， 成等差数列，故B正确；

因为A，F，C三点共线，所以直线斜率 ，即 ，所以 ，化简得，，故C 不正确； 

设AC的中点为 ，因为 ， ，所以，得 ，

即的中点到轴距离的最小值为2 ，故 D正确.

故选：ABD

10、已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.

抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，

轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，

，则，，得，

A选项正确；

，又，为的中点，则，B选项正确；

，，（抛物线定义），C选项正确；

，，D选项错误.

故选：ABC.

11、已知抛物线的准线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.

【解析】（Ⅰ）依已知得，所以；

（Ⅱ）设，，由消去，得，

则，，

所以

.

12、已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

【答案】（1）8   （2）

   【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°，

所以其斜率k＝tan 60°＝.又F.

所以直线l的方程为y＝.

联立消去y，得x2－5x＋＝0.

若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，

|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，

所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，

所以M到准线的距离等于3＋＝.

13、已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p ，所以|AB|＝2p＝4，

所以抛物线的方程为y2＝4x．

（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

因为直线l与抛物线有两个交点，

所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，

则，y1y2＝-4，所以．

又点O到直线l的距离，

所以，解得，即．

考向四  抛物线的性质综合

1、（多选）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （    ）

A．若，则

B．以为直径的圆与准线相切

C．设，则

D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条

【答案】ABC

【解析】

对于选项A,因为,所以,则,故A正确；

对于选项B,设为中点,设点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得,故B正确；

对于选项C,因为,所以,故C正确；

对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线为,

联立,可得,令,则,所以直线与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D错误；

故选：ABC

2、（多选）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（    ）

A．以线段为直径的圆与直线相离  B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时， D．的最小值为4

【答案】ACD

【解析】

对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：

对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.

对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，

，所，.

故选:ACD.

3、已知抛物线，，若抛物线上存在点，使得过点的切线，设与轴交于点，则的面积为______.

【答案】4

【解析】由可得，，

所以直线的斜率，

又直线的斜率为，

因为切线，所以.

又，解得，，

不妨设，则直线的方程为，即.

所以，则的面积为.

故答案为：4.