2.2.3 直线的一般式方程及综合-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

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类型一：直线的一般式方程
例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）斜率是，经过点A（8，―2）；
（2）经过点B（4，2），平行于x轴；
（3）在x轴和y轴上的截距分别是，―3；
（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）．
【解析】 （1）由点斜式方程得，化成一般式得x+2y―4=0．
（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．
（3）由截距式得，化成一般式得2x―y―3=0．
（4）由两点式得，化成一般式方程为．
举一反三：
【变式1】已知直线经过点，且倾斜角是，求直线的点斜式方程和一般式方程.
【解析】因为直线倾斜角是，所以直线的斜率，
所以直线的点斜式方程为：，
化成一般式方程为：.
例2．的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程.
【答案】
【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，
所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，
B点关于的平分线的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程.
例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线的方程．
【解析】解法一：设直线的斜率为k，∵与直线3x+4y+1=0平行，∴．
又∵经过点（1，2），可得所求直线方程为，即3x+4y―11=0．
解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为：3x+4y+m=0，
∵经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．
∴所求直线方程为3x+4y―11=0．
举一反三：
【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:
（1）与平行（2）与垂直.
【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，
当时，：；：
由，得，由得
而无解
综上所述（1），与平行．（2），与垂直．
【变式2】 求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线的方程．
【解析】因为直线与直线2x+y―10=0垂直，可设直线的方程为，
把点A（2，1）代入直线的方程得：，所以直线的方程为：x－2y=0．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例4．已知直线的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．
【解析】设直线的方程为，倾斜角为，由，得．
∴，解得．故所求的直线方程为或．
举一反三：
【变式1】已知直线m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0．
（1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；
（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．
【解析】（1）由，解得，
即两直线m，n交点坐标为（2，1），
设与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程为x+2y+c=0，
则2+2×1+c=0，解得c=―4，
则对应的直线方程为x+2y―4=0；
（2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0），
则对应的直线方程为y―1=k(x―2)，
令x=0，y=1―2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1―2k）
令y=0，则，即与x轴的交点坐标为，
则△AOB的面积，
即，
即，
若k＞0，则方程等价为，
解得或，
若k＜0，则方程等价为，
解得．
综上直线的方程为 ，或，或
即，或，或
例5.过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
【解析】解法一：设直线的方程为:y-1=k(x-2)，
令y=0，得:x=；
令x=0，得y=1-2k，
∵与x轴、y轴的交点均在正半轴上，
∴>0且1-2k>0
故k0，b>0，
∵点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=当且仅当，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时方程为即:x+2y-4=0.
解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，
垂足分别为M、N，设=∠PAM=∠BPN，则△AOB面积
S=S矩形OMPN+S△PAM+S△BPN
=
=4，当且仅当时，S△AOB
有最小值4，故此时直线的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.
举一反三：
【变式1】已知a∈（0，2），直线1：ax―2y―2a+4=0和直线2：2x+a2y―2a2―4=0与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求a的值．
【答案】
【解析】直线l1与y轴交点为A（0，2-a），直线l2与x轴交点为B（a2+2，0），如图由直线1：ax―2y―2a+4=0，2：2x+a2y―2a2―4=0知，两直线的交点为（2，2），过C点作轴垂线，垂足为D，
于是S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD===
故 时，S四过形AOBC最小．
类型三：直线方程的实际应用
例6．光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．
【解析】设点A关于l的对称点A＇（x0，y0），
∵AA＇被l垂直平分，∴，解得
∵点A＇（―4，―3），B（1，1）在反射光线所在直线上，
∴反射光线的方程为，即4x―5y+1=0，
解方程组得入射点的坐标为．
由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x―4y+2=0，
光线从A到B所走过的路线长为．
举一反三：
【变式1】一条光线从点A（－4，－2）射出，到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（－1，6）．求BC所在直线的方程．
【解析】如图，A（－4，－2），D（－1，6），
由对称性求得A（－4，－2）关于直线y=x的对称点A＇（－2，－4），
D关于y轴的对称点D＇（1，6），
则由入射光线和反射光线的性质可得：过A＇D＇的直线方程即为BC所在直线的方程．
由直线方程的两点式得：．
整理得：10x－3y+8=0．