第3章 3.1 3.1.3 第2课时　组合数的性质及应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

这是一份第3章 3.1 3.1.3 第2课时　组合数的性质及应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义，
某国际会议中心有A、B、C、D和E共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．
问题：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？
组合数的性质
(1)Ceq \\al(m,n)＝eq \O(C\\al(n－m,n))；
(2)Ceq \\al(m＋1,n)＋Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1).
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Ceq \\al(1,m)＋Ceq \\al(2,m)＝Ceq \\al(3,m＋1)(m≥2且m∈N*)．( )
(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,6)种．( )
(3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有Ceq \\al(2,4)种不同分法．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．若Ceq \\al(x,6)＝Ceq \\al(2,6)，则x的值为( )
A．2 B．4
C．0D．2或4
D [由Ceq \\al(x,6)＝Ceq \\al(2,6)可知x＝2或x＝6－2＝4.故选D.]
3．Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,8)的值为________．
84 [Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,8)＝Ceq \\al(6,9)＝eq \f(9！,6！×3！)＝eq \f(9×8×7,3×2×1)＝84.]
4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．
96 [甲选修2门，有Ceq \\al(2,4)＝6(种)不同方案．
乙选修3门，有Ceq \\al(3,4)＝4(种)不同选修方案．
丙选修3门，有Ceq \\al(3,4)＝4(种)不同选修方案．
由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．]
【例1】 计算：(1)Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(98,100)·Ceq \\al(7,7)；
(2)Ceq \\al(0,5)＋Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(5,5)；
(3)Ceq \\al(n,n＋1)·Ceq \\al(n－1,n)(n＞0，n∈N)．
[解] (1)原式＝Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(2,100)×1＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＋eq \f(100×99,2×1)＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(Ceq \\al(0,5)＋Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5))＝2(Ceq \\al(1,6)＋Ceq \\al(2,5))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32.
(3)原式＝Ceq \\al(1,n＋1)·Ceq \\al(1,n)＝(n＋1)n＝n2＋n.
性质“Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)”的意义及作用
eq \([跟进训练])
1．(1)化简：Ceq \\al(9,m)－Ceq \\al(9,m＋1)＋Ceq \\al(8,m)＝________；
(2)已知Ceq \\al(7,n＋1)－Ceq \\al(7,n)＝Ceq \\al(8,n)，求n的值．
(1)0 [原式＝(Ceq \\al(9,m)＋Ceq \\al(8,m))－Ceq \\al(9,m＋1)＝Ceq \\al(9,m＋1)－Ceq \\al(9,m＋1)＝0.]
(2)[解] 根据题意，Ceq \\al(7,n＋1)－Ceq \\al(7,n)＝Ceq \\al(8,n)，
变形可得Ceq \\al(7,n＋1)＝Ceq \\al(8,n)＋Ceq \\al(7,n)，
由组合数的性质，可得
Ceq \\al(7,n＋1)＝Ceq \\al(8,n＋1)，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
【例2】 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
[思路点拨] 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．
[解] (1)从余下的34名学生中选取2名，
有Ceq \\al(2,34)＝561(种)．
∴不同的选法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有Ceq \\al(3,34)种．
或者Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(2,34)＝Ceq \\al(3,34)＝5 984种．
∴不同的选法有5 984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝2 100种．
∴不同的选法有2 100种．
(4)选取2名女生有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)种，选取3名女生有Ceq \\al(3,15)种，共有选取方法N＝Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＋Ceq \\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555种．
∴不同的选法有2 555种．
(5)选取3名的总数有Ceq \\al(3,35)，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(3,15)＝6 545－455＝6 090种．
∴不同的选法有6 090种．
常见的限制条件及解题方法
1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
eq \([跟进训练])
2．“抗击疫情，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？
[解] (1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有Ceq \\al(2,4)种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有Ceq \\al(4,6)种选法，所以共有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．
法一：按选取的内科专家的人数分类：
①选2名内科专家，共有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)种选法；
②选3名内科专家，共有Ceq \\al(3,4)·Ceq \\al(3,6)种选法；
③选4名内科专家，共有Ceq \\al(4,4)·Ceq \\al(2,6)种选法．
根据分类加法计数原理，共有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(3,4)·Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(4,4)·Ceq \\al(2,6)＝185(种)抽调方法．
法二：不考虑是否有内科专家，共有Ceq \\al(6,10)种选法，考虑选取1名内科专家参加，有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)种选法；没有内科专家参加，有Ceq \\al(6,6)种选法，所以共有：Ceq \\al(6,10)－Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)－Ceq \\al(6,6)＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有内科专家参加，有Ceq \\al(6,6)种选法；
②有1名内科专家参加，有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)种选法；
③有2名内科专家参加，有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)种选法．
所以共有Ceq \\al(6,6)＋Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(5,6)＋Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(4,6)＝115(种)抽调方法.
[探究问题]
1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？
[提示] 共1种分法．因为三堆无差异．
2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？
[提示] 共有Aeq \\al(3,3)＝3×2×1＝6种分法．
【例3】 (教材P20例5改编)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨] (1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．
[解] (1)根据分步乘法计数原理得到：Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90种．
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有Aeq \\al(3,3)种方法．根据分步乘法计数原理可得：Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝xAeq \\al(3,3)，所以x＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)＝60种方法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝360种方法．
(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,)5Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝360种方法；③“1、1、4型”，有Ceq \\al(4,6)Aeq \\al(3,3)＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．
分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种
1．完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
2．部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.
3．完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
eq \([跟进训练])
3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有eq \f(C\\al(2,4)·C\\al(1,2)·C\\al(1,1),A\\al(2,2))种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有Aeq \\al(3,3)种．所以满足条件的分配方案有eq \f(C\\al(2,4)·C\\al(1,2)·C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝36(种)．]
1．在组合数的计数中，恰当利用组合数的性质解题可以使问题简化．
2．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法．
3．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关．
1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120种 B．84种
C．52种D．48种
C [间接法：Ceq \\al(3,8)－Ceq \\al(3,4)＝52种．]
2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )
A．Aeq \\al(4,5)种 B．45种
C．54种D．Ceq \\al(4,5)种
D [由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有Ceq \\al(4,5)种．]
3．方程Ceq \\al(x,14)＝Ceq \\al(2x－4,14)的解为________．
4或6 [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝14－2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))
解得x＝4或6.]
4．Ceq \\al(0,3)＋Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,5)＋…＋Ceq \\al(18,21)的值等于________．
7 315 [原式＝Ceq \\al(0,4)＋Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,5)＋…＋Ceq \\al(18,21)＝Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5)＋…＋Ceq \\al(18,21)＝Ceq \\al(17,21)＋Ceq \\al(18,21)＝Ceq \\al(18,22)＝Ceq \\al(4,22)＝7 315.]
5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(1,3)种，后排有Aeq \\al(5,5)种，
共(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(1,3))·Aeq \\al(5,5)＝5 400种．
(2)除去该女生后，先选后排，有Ceq \\al(4,7)·Aeq \\al(4,4)＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生，有Ceq \\al(4,7)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)＝3 360种．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有Ceq \\al(3,6)种，再安排该男生有Ceq \\al(1,3)种，其余3人全排有Aeq \\al(3,3)种，共Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝360种．学 习 目 标
核 心 素 养
1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)
2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)
通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.
组合数的性质
有限制条件的组合问题
分组分配问题