高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课时作业

1.2.4 二面角(2)-A基础练

一、选择题

1．（2020山东泰安一中高二期中）如图，在长方体中，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，平面与平面所成二面角为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】连接,如图，

在长方体内知,所以为异面直线与所成的角为，易知为等边三角形，所以，因为平面,平面，所以又，，所以平面，同理可得平面，

则，可分别视为平面，平面的一个法向量，又因为在长方体内易知，而，故与的夹角为，所以或，

即，故选：B

2．（2020四川南充三中高二月考）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】设是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过P的直线与平行时，满足条件，第二条作与在同一平面内且与垂直的直线FC,此时FC与直线FA和直线FB所成角都为65度,将FC向外旋转,所成角递减到与棱重合时是0度,在重合之前必有一条与两面都成25度的直线,第三条:向内旋转得到, 过P的直线与它们分别平行，所以满足条件共有3条．

3．（2019·浙江高考真题）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.

方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）

由最大角定理，故选B.

方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得

，故选B.

4.．（2020浙江余姚中学高二期中）如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是(   )

A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大

【答案】D

【解析】以中点为坐标原点,分别为轴,并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.

设所有棱长均为2,则,,,设平面BDE法向量则,令有,

故.又平面ABC的法向量,故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值

,又,故在上单增, 上单减,即随着x增大先变大后变小,所一以随着x增大先变小后变大.故选：D.

5．（多选题）（2002大连高级二十四中高二期中）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（ ）

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【答案】ABC

【解析】A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等，故选ABC.

6．（多选题）（2020沙坪坝重庆一中高二期中（理））如图，正方体中，E为AB中点，F在线段上.给出下列判断，其中正确的为（    ）

A.存在点F使得平面；

B.在平面内总存在与平面平行的直线；

C.平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；

D.三棱锥的体积与点F的位置无关.

【答案】BD

【解析】对于A，假设存在F使得⊥平面，则⊥，又⊥，∩＝，∴⊥平面，则⊥，这与⊥矛盾，所以A错误；

对于B，因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故B正确；对于C，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系，则平面的法向量为而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故C错误；对于D，三棱锥的体积即为三棱锥，因为∥平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即D正确．故选：BD．

二、填空题

7. （2020银川一中高二期中）三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长为的正三角形,,则二面角A-PB-C的大小为         .

【答案】60°

【解析】取PB中点M，因为PAB,PBC都是边长为的正三角形,所以AM⊥PB,CM⊥PB,因此∠AMC为二面角A-PB-C的平面角，因为，,所以∠AMC=60°.

8．（2020南昌市八一中学高二期中（理））在直线坐标系中，设，，沿轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，的长为          .

【答案】

【解析】由题意，如图所示，作垂直轴，垂直轴，，

连接，则，，可得，则轴，又由垂直轴，所以为二面角的平面角，所以，

在中，由余弦定理可得，

在直角中，可得.

9．（2020福建莆田一中高二月考）在平面内，已知，过直线，分别作平面，，使锐二面角为，锐二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为      .

【答案】

【解析】如图

由题意以平面为底面，以平面，为两相邻的侧面构造正四棱锥，设正四棱锥的底面边长为2，以点为坐标原点，以，，过点垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，在正四棱锥中设，为，中点，，

则，，∴为二面角的平面角，同理为二面角的平面角，∴，∴在中，，则由题意易得，，，，则，，，

设平面的法向量为，则有，令得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，

则平面和平面所成锐二面角的余弦值为.

10．（2020山东青岛七中高二月考）如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则             ．

【答案】

【解析】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方体的棱长为1，，则易得，，，

则，，设平面的一个法向量为，

则，令，得平面的一个法向量为，

易得平面的一个法向量为，由图易得平面与平面所成的二面角为锐角，设其为，则，

当即时，取最小值，取最大值，

此时取最小值，且

三、解答题

11．（2020·全国高考真题（理））如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

【解析】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，

在长方体中，且，且，

，，且，

所以，四边形为平行四边形，则且，

同理可证四边形为平行四边形，且，

且，则四边形为平行四边形，

因此，点在平面内；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，，，

设平面的法向量为，

由，得取，得，则，

设平面的法向量为，

由，得，取，得，，则，

，

设二面角的平面角为，则，.

因此，二面角的正弦值为.

12．（2015·江苏高考真题）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.

【解析】

（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．

因为．

设平面的法向量为，则，

即，令，解得．

所以是平面的一个法向量，从而，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为．

（2） 因为，设，

又，则，

又，

从而，

设，

则，

当且仅当，即时，的最大值为．

因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．

又因为，所以．