数学选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质同步测试题

这是一份数学选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质同步测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层作业(二十四)　抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A．　　　　　　 B．1C．   D．C　[由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝＋＝xA＋xB＋p＝3，故xA＋xB＝3－p＝，故线段AB的中点到y轴的距离为．]2．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)A．2   B．1C．4   D．8C　[抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4．]3．抛物线y2＝4x的焦点F，点P为抛物线上的点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时面积为(　　)A．2   B．4C．6   D．4D　[据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线，设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4．]4．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是(　　)A．1　   B．2C．3　   D．4B　[由题意知，直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，∴A到准线x＝－的距离为xA＋，B到准线x＝－的距离为xB＋，∴线段AB的中点到准线的距离为＋，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝1，即xA＋xB＝2，由抛物线定义，|AF|＝＋xA，|BF|＝＋xB，∴|AB|＝xA＋xB＋p＝4，即xA＋xB＝4－p，∴4－p＝2，即p＝2．]5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)A．－4   B．4C．p2   D．－p2A　[①若焦点弦AB⊥x轴，   则x1＝x2＝，∴x1x2＝；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4．②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝，∴y1y2＝－p2，故＝－4．]二、填空题6．已知点A(0，)，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|∶|MN|＝1∶2，则抛物线的方程是        ．y2＝4x　[依题意F点的坐标为，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∵|FM|∶|MN|＝1∶2，∴|KN|∶|KM|＝∶1＝，∴p＝2，∴p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x． 7．已知直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PK，QS，垂足分别为K，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为KS的中点，则|MF|的值为        ．　[如图，根据抛物线的定义，有|PF|＝|PK|，|QF|＝|QS|，易知△KFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PKSQ中，容易求得|KS|＝2．故|FM|＝|KS|＝．]8．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为        ．x－y－1＝0　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0．]三、解答题9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解]　依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋p．设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8． ①又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p．将其代入①，得p＝2．∴所求的抛物线方程为y2＝4x．当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x．综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．(1)求y1y2的值．(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．[解]　(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2(m≠0)，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8．(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，＝×＝×＝，设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x消去x得：y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，＝＝＝，由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．11．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)A．p＝2   B．F为AD中点C．|BD|＝2|BF|   D．|BF|＝2ABC　[如图，F，直线l的斜率为，则直线方程为y＝，联立，得12x2－20px＋3p2＝0．解得：xA＝p，xB＝p，由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x．xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝；|BD|＝＝＝，∴|BD|＝2|BF|，|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD中点．∴运算结论正确的是ABC．]12．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝        ．2　[由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4．由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．]13．(一题两空)如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝3p，设点A，B在l上的射影分别为A′，B′，则直线AB的斜率为        ；若向四边形AA′B′B内任投一点M，点M落在△FA′B′内的概率是        ．±　　[设|AF|＝m，|BF|＝n，可得m＋n＝3p，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋p＝3p，即x1＋x2＝2p，显然AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k，联立抛物线方程得k2x2－(2p＋k2p)x＋p2＝0，可得x1＋x2＝p＋＝2p，解得k＝±，由抛物线的定义可得|AA′|＝|AF|＝m，|BB′|＝|BF|＝n，可得四边形AA′B′B的面积为|A′B′|(m＋n)＝p|A′B′|，△FA′B′的面积为p|A′B′|，则点M落在△FA′B′内的概率是＝．]14．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝        ．1∶　[∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为l：y＝－1，直线AF的斜率为k＝＝－．过M作MP⊥l于P，根据抛物线的定义得|FM|＝|PM|．∵Rt△MPN中，tan∠MNP＝－k＝，∴＝，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|＝＝|PM|．∴＝，可得|FM|∶|MN|＝|PM|∶|MN|＝1∶．]15．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．[解]　(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．又F，所以直线l的方程为y＝．联立消去y得x2－5x＋＝0．若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6．于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝．