数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课后作业题

2.7.2　抛物线的几何性质

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,

∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,

则P(3,±2),

∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,

∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.

答案A

2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　)

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

解析∵直线y=kx-k=k(x-1),

∴直线过点(1,0),

又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,

∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.

答案C

3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为(　　)

A. B. C.2 D.

解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-,

∵AB垂直于x轴,|AB|=2,

A到y轴的距离为,假设A在y轴上侧,即y=,

代入抛物线y2=2x,求得x=1,

点A到抛物线的准线的距离d=1+.

答案B

4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有              (　　)

A.|PP1|=|AA1|+|BB1|

B.|PP1|=|AB|

C.|PP1|>|AB|

D.|PP1|<|AB|

解析如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.

答案B

5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.4

解析由题意知,△FPM为等边三角形,

|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.

设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,

得1+,得m=±2,

∴等边三角形的边长为4,其面积为4,故选D.

答案D

6.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是　　　　　. 

解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,

因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,

所以当x=0时,z最小,其值为3.

答案3

7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　　. 

解析抛物线的焦点坐标F,准线方程为y=-.将y=-代入=1得|x|=.

要使△ABF为等边三角形,则tan,解得p2=36,p=6.

答案6

8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.

解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),

设A(x0,y0),由题意知M,

∵|AF|=3,∴y0+=3,

∵|AM|=,∴=17,

∴=8,代入方程=2py0得,

8=2p,解得p=2或p=4.

∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.

9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.

(1)求p的值;

(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.

解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-=-1,所以p=2.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,

所以|AB|=

=

==8.

能力提升练

1.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|=(　　)

A. B. C. D.

解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),∵=3,∴,

∴m+1=,AB=.

答案C

2.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有(　　)

A.1个 B.2个

C.0个 D.无数个

解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.

答案B

3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则的取值范围是(　　)

A.[-2,-]∪[,2] B.[-,-1]∪[1,]

C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-]

解析对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+,

与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,

设A,B,故y1+y2=2pm,

则=m=,

其中k为直线AB的斜率,设AB所在直线的倾斜角为θ,由抛物线的焦点弦公式可知|AB|=∈[16,24],则sin2θ∈,tan2θ=-1=,故∈[1,2],

所以的取值范围是[-,-1]∪[1,].

答案B

4.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OMN=|MN|,则p的值为　　　　　. 

解析不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,

过N作NK⊥MG于K,由=3,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,

∴|MK|=2|NH|=2|NF|=|MN|,

∴|NK|=|MN|,

由S△OMN=S△OMF+S△ONF=|OF|·|NK|=p|MN|,又S△OMN=|MN|,

∴p|MN|=|MN|,得p=8.

答案8

5.

抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为　　　　　. 

解析由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F.

当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;

当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立得k2=2px,

整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,

所以x1+x2=p+,x1x2=.

所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.

综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,

又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,

∴抛物线方程为y2=3x.

答案y2=3x

6.

如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.

(1)求实数b的值;

(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

解(1)由得x2-4x-4b=0. ①

因为直线l与抛物线C相切,

所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.

(2)由(1)可知b=-1,

故方程①即为x2-4x+4=0,解得x=2.

将其代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).

因为圆A与抛物线C的准线相切,

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,

即r=|1-(-1)|=2,

所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

7.

如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.

(1)求y1y2的值;

(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.

(1)解依题意,设AB的方程为x=my+2,

代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.

(2)证明设M(x3,y3),N(x4,y4),

,设直线AM的方程为x=ny+1,

代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,

所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,

,

由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.

素养培优练

1.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则的最小值为(　　)

A. B.- C.- D.

解析抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),

当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,

由可得M(4,8),N(4,-8),

∴|MF|=|NF|=8,∴.

当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),

由消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x2=8+,x1x2=16,

∴|MF|=x1+=x1+4,|NF|=x2+=x2+4,

∴.∴-1≥2-1=,

当且仅当|NF|=6时取等号.

故的最小值为.

答案D

2.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列结论中正确的是(　　)

A.若x1+x2=6,则|PQ|=8

B.以PQ为直径的圆与准线l相切

C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥

D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

解析若直线的斜率存在,设y=k(x-1),

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

x1+x2=,x1x2=1.

对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或-1,|PQ|=×4=8,故A成立;

对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=(|PP1|+|QQ'|)=|PQ|,故B成立;

对于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=,故C成立;

对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.

答案ABC