2021学年1.1.1 空间向量及其运算随堂练习题

1.1.1 空间向量及其运算  练习题

提高卷B

1.在下列命题中：

①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；

③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以惟一表示为p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数为(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

答案　A

解析　根据空间向量的基本概念知四个命题都不对．

2.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：6＝＋2＋3，则(　　)

A．四点O，A，B，C必共面

B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面

D．五点O，P，A，B，C必共面

答案　B

解析　由6＝＋2＋3，

得(－)＝2(－)＋3(－)，

即＝2＋3.

由共面向量定理，知P，A，B，C四点共面．

3.已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

答案　C

解析　＝＋＋，

∴·＝(＋＋)·

＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，

又||＝2，||＝1.

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴a与b所成的角是60°.

4.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　　)

A.    B．2    C.    D.

答案　D

解析　由题意可知||＝1，||＝1，||＝.

〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°.

∴||2＝2

＝2＋2＋2－·＋·－·

＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.

5在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．

答案　0

解析　延长DE交边BC于点F，

则＋＝，

＋＝＋＝，

故＋－－＝0.

6．已知λ，μ∈R，给出以下命题：

①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；

②λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；

③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；

④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．

其中正确的是________答案①②③④

7.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，化简－＋－＋－=________.

解　如图．－＋－＋－

＝(－)＋(－)＋(－)

＝＋＋

＝＋＝.

8如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是______

解析　不妨设AB＝BC＝AA1＝1，

则＝－＝(－)，＝＋，

∴||＝|－|＝，||＝，

·＝(－)·(＋)＝，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴〈，〉＝60°，

即异面直线EF与BC1的夹角是60°.

9已知四面体OABC的所有棱长均为1.求：

(1)·；

(2)(＋)·(＋)；

(3)|＋＋|.

解　(1)·＝||·||·cos∠AOB

＝1×1×cos 60°＝.

(2)(＋)·(＋)

＝(＋)·(－＋－)

＝(＋)·(＋－2)

＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.

(3)|＋＋|＝

＝＝.

10．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为C′G的中点．

(1)求EF，C′G所成角的余弦值；

(2)求FH的长．

解　设＝a，＝b，＝c，

则a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.

(1)∵＝＋＝－c＋(a－b)

＝(a－b－c)，

＝＋＝－c－a，

∴·＝(a－b－c)·(－c－a)

＝(－a2＋c2)＝，

||2＝(a－b－c)2＝(a2＋b2＋c2)＝，

||2＝(－c－a)2＝c2＋a2＝，

∴||＝，||＝，

cos〈，〉＝＝，

所以EF，C′G所成角的余弦值为.

(2)∵＝＋＋＋

＝(a－b)＋b＋c＋

＝(a－b)＋b＋c＋(－c－a)

＝a＋b＋c，

∴||2＝(a＋b＋c)2

＝a2＋b2＋c2＝，

∴FH的长为.