数学人教B版 (2019)1.2.4 二面角当堂检测题

1.2.4 二面角(1)-A基础练

一、选择题

1.（2020全国高二课时练）若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【答案】D

【解析】因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.

2．（2020福建宁德高二期中）已知为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（  ）

A．            B．            C．             D．

【答案】A

【解析】 设棱长为 ，则侧面与底面所成角的余弦值为 ，选A.

3.（2020湖南师大附中高二期中）如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角P-AC-B的正弦值是(　　)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】如图,取AC的中点D,连接OD,PD,

∵PO⊥底面,∴PO⊥AC,∵OA=OC,D为AC的中点,

∴OD⊥AC,又PO∩OD=O,

∴AC⊥平面POD,则AC⊥PD,∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角.

∵△PAB是边长为2的正三角形,

∴PO=,OA=OC=1,OD=,则PD=.∴sin∠PDO=.

4.(2020山东泰安一中高二月考)正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【答案】B

【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,

则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,,

∴=0,,易知是平面PAB的法向量,是平面PCD的法向量,

∴cos<>=,∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°.

5．（多选题）（2020·六盘山高级中学高二期末）如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论正确的是（  ）

A．与所成角为                  B．三棱锥的体积为定值

C．平面                      D．二面角是定值

【答案】BCD

【解析】选项A，AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD AC⊥面DD1B1B，即得AC⊥BE，此命题错误；选项B, 由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确；选项C，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上且EF与平面ABCD无公共点，故EF∥平面ABCD，此命题正确；选项D，由于E、F为线段B1D1上有两个动点，故二面角A﹣EF﹣B的平面角大小始终是二面角A﹣B1D1﹣B的平面角大小，为定值，故正确；故选BCD

6．（多选题）（2020浙江温州高二期中）已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（和）组成的三角形，如下图所示，其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题中正确的是（    ）

A．在线段上存在一定点，使得平面

B．存在某个位置，使得直线平面

C．存在某个位置，使得直线与所成角为

D．对于任意位置，二面角始终不小于直线与平面所成角

【答案】ABD

【解析】对于，当为的中点时，可得，平面，平面，即有平面，故正确；对于，由于，当，且，可得直线平面，故正确；

对于，假设存在某个位置，使得直线与所成角为，由，过作，可得，设，，，，

可得，，，，

与矛盾，故不正确；对于，过作平面，垂足为，连接，过作，垂足为，连接，可得为与平面所成角，为二面角的平面角，，，而，可得，

则任意位置，二面角始终不小于直线与平面所成角，故正确．故选：ABD．

二、填空题

7．（2020全国高二课时练习）若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是_____.

【答案】

【解析】设这两个平面所成的锐二面角为θ,则cosθ=,所以锐二面角的度数是60°.故答案为

8.（2020福建三明二中高二课时练）已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,则平面PAB与平面PCD的夹角为_________.

【答案】

【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.

设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴=(0,1,0).取PD的中点E,则E,∴,易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<>=,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.

9.（2020全国高二课时练）请根据所给的图形,把空白之处填写完整.

(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).

如图①,已知:a∥α,　　　　　　, 

求证:　　　　　. 

(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.

如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,　　　　,　　　　, 

求证:AB⊥β.

证明:在β内引直线　　　　,垂足为B,则　　　　是二面角　　　　的平面角,

由α⊥β,知　　　　,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条　　　　直线,所以AB⊥β. 

【答案】（1）a⊂β,α∩β=b;a∥b；（2）AB⊂α,AB⊥CD, BE，∠ABE，α-CD-β，AB⊥BE, BE和CD

【解析】(1)已知:a∥α,a⊂β,α∩β=b,求证:a∥b.

 (2)如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,

求证:AB⊥β.

证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,

则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,

由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,

BE和CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.

10.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为　　　　. 

【答案】

【解析】取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系.

设BC=1,则A0,0,,B0,-,0,D,0,0.

所以=0,0,,=0,,=,0.

由于=0,0,为平面BCD的一个法向量,

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则所以

取x=1,则y=-,z=1,所以n=(1,-,1),

所以cos<n,>=,所以sin<n,>=.

三、解答题

11.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.

(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;

(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.

【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin θ=|cos<>|=,故cos θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.

(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.

12.如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(1)证明:PA⊥BD;

(2)设PD=AD,求二面角A - PB - C的余弦值.

【解析】(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD.

从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,

所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.

(2)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),

则因此可取n=(,1,).

设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则

可取m=(0,-1,-),cos<m,n>==-.

由图形知二面角A -PB -C大小为钝角,

故二面角A -PB -C的余弦值为-.