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河南省商丘市永城市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案）
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这是一份河南省商丘市永城市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．代数式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≠6B．x＜6C．x＞6D．x≥6
2．关于8的叙述正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．
C．不能与合并D．与最接近的整数是3
3．给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数.
其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
4．如图，在中，、相交于点，，若，，则的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．16
5．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（ ）
A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13
7．如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cmB．30cmC．40cmD．20cm
9．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )cm．
A．B．C．D．
10．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：，，的面积，其中正确的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
11．比较大小：___．（填“＞”“＜“或“＝”）
12．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为______.
13．如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积为______．
14．如图，中，，的周长是11，于，于，且点是的中点，则_______．
15．如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为___．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②△ABE≌△AHD；③BH＝FH；④AB＝HF，其中正确的有___．（填序号）
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知，求的值．
19．如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号）
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b，
∵
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，DE交边BC于点F．
（1）求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
23．如图，点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．
（1）如图1，当点在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点在的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用分式和二次根式有意义的条件，进而得出答案．
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴x-6≥0，，
∴x＞6，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，正确把握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于或等于0是解题关键．
2．D
【分析】
根据最简二次根式，二次根式的加减法和无理数的估算分别判断即可求解．
【详解】
解：A、，故不是最简二次根式，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故与最接近的整数是3，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，二次根式的加减法和无理数的估算，关键是熟练掌握计算法则计算即可求解．
3．C
【分析】
根据勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数的定义分别判断各说法即可.
【详解】
①由于，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有，故③说法正确；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，所以，所以，，一定是勾股数故④说法正确.
故选C.
【点睛】
此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
4．C
【分析】
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出OD的长，进而解答即可．
【详解】
∵在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，
∴AO=OC=AC=3，CD=AB=4，
∴BO=，
∴OD=BO=5，
∴△COD的周长=OD+OC+CD=5+3+4=12，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】
根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】
解：∵两个空白小正方形的面积是、
∴两个空白小正方形的边长是、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是．
故选：A
【点睛】
本题考查了开方运算在几何图形中的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．
6．A
【分析】
最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
【详解】
解：由题意可得：
a的最小长度为饮料罐的高，即为12，
当吸管斜放时，如图，此时a的长度最大，即为AB，
∵下底面半径是5，
∴AB==13，
∴a的取值范围是12≤a≤13，
故选A
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，难度不大．
7．C
【分析】
由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后运用勾股定理求得AB、CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，即可解答．
【详解】
解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，
∴AC＝2OB＝10，
∴CD＝AB＝＝＝6，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝3．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．D
【分析】
如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
9．D
【分析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出其边长，进而利用菱形的面积求法得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∵对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，
∴AO=CO=5cm，BO=DO=12cm，
∴ ，
∴BC=CD=AB=AD=13cm（菱形四边相等），
∴ （等面积法），
∴ ，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出菱形的边长是解题关键，要掌握用等等面积法求解线段的长度．
10．B
【分析】
①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；
②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，
故正确；
②∵EF=，
∴OE=2．
∵AO=AB=3，
∴AE=AO+OE=2+3=5，
故正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG=1，
CF=＝＝，
BH=3-1=2，
DH=3+1=4，
BD=，故错误；
④△COF的面积S△COF=×3×1=，
故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键．
11．＜
【分析】
首先比较出每组两个数的平方的大小关系，然后根据实数大小比较的方法判断出每组两个数的大小关系即可．
【详解】
解：，，28＞27，
∴，
∴，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出每组两个数的平方的大小关系．
12．2
【分析】
根据最简二次根式的定义求解即可.
【详解】
解：∵a是正整数，且是最简二次根式，
∴当a=1时，，不是最简二次根式，
当a=2时，，是最简二次根式，
则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
13．36
【分析】
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】
连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= =5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD=13=169,CD+AC=12+5=144+25=169，
∴CD+AC=AD，
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB⋅BC+AC⋅CD=×3×4+×5×12=36，
故四边形ABCD的面积是36
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线
14．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，通过计算可求得AB，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】
∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∴，
∵BE⊥AC，
∴，
∴的周长，
∴，
在中，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理，熟记各性质是解题的关键．
15．.
【分析】
由作法得MN垂直平分BD，则MB=MD，NB=ND，再证明△BMN为等腰三角形得到BM=BN，则可判断四边形BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出BN=5，然后利用面积法计算的边BC上的高．
【详解】
由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
而MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形BMDN为菱形，
∴，
设▱ABCD的边BC上的高为h，
∵，
∴，
即▱ABCD的边BC上的高为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
16．①②③
【分析】
根据矩形的性质得到∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，求得∠ADE=∠CED，推出△ABE和△ADH是等腰直角三角形，求得AE=AB，AD=AH，于是得到∠AED=∠CED，①正确；根据全等三角形的判定定理得到△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；由全等三角形的性质得到BE=DH，由等腰三角形的性质得到∠OHE=∠AHB=67.5°，推出∠EBH=∠OHD，根据全等三角形的性质得到BH=HF，故③正确；推出△ABH不是等边三角形，得到AB≠BH，于是得到AB≠HF，故④错误．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAH=45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE=AB，AD=AH，
∵AD=AB=AH，
∴AD=AE，AB=AH=DH=DC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE=DH，
∵AB=AH，
∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，
∴∠OHE=∠AHB=67.5°，
∴∠DHO=90°-67.5°=22.5°，
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，故③正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用平方差和完全平方公式将括号展开，再合并即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．2020
【分析】
根据二次根式的非负性得到b值，代入求出a，再代入所求式子计算即可．
【详解】
解：由已知得：b-2020≥0，2020-b≥0，
∴b=2020，
∴，
∴===2020．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算，解题的关键是利用非负性得到a，b的值．
19．m
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
解：在中，，m，m，
m，
此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
m，
m，
m．
答：船向岸边移动了m．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．见解析
【分析】
首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出，两者相等，整理即可得证．
【详解】
证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵，
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由平行四边形的性质及AB=BE，即可证明四边形BECD是平行四边形．
（2）由平行线的性质和角的关系，易证明BF=EF，又平行四边形对角线相互平分，所以BC=DE，即可证明．
【详解】
证明：（1）四边形为平行四边形
∴AB∥CD
∵E是AB的延长线上的点，
∴BE∥CD
∵BE=AB
∴BE=CD
四边形为平行四边形
（2）四边形为平行四边形
又
四边形为平行四边形
,
四边形为矩形
【点睛】
本题考查了平行四边的的性质和判定，平行线的性质，矩形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
22．（1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（1）且，详见解析；（2）猜想成立，详见解析；（3）猜想成立
【分析】
（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定和性质以及四边形内角和定理可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；
（3）根据题意作出图形，利用（2）中证明思路即可得出答案．
【详解】
（1）当点P在线段AO上时，且，理由如下：
∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴；
（2）当点在线段上时，且，理由如下：
∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴，
①当点与点重合时，；
②当点在的延长线上时，如图所示，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述：．
∴当点在线段上时，（1）中的猜想成立；
（3）当点在线段的延长线上时，如图所示，（1）中的猜想成立．
∵四边形是正方形，点在的延长线上，
∴，，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线的证明方法，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．．
一、单选题
1．代数式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≠6B．x＜6C．x＞6D．x≥6
2．关于8的叙述正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．
C．不能与合并D．与最接近的整数是3
3．给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数.
其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
4．如图，在中，、相交于点，，若，，则的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．16
5．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（ ）
A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13
7．如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cmB．30cmC．40cmD．20cm
9．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )cm．
A．B．C．D．
10．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：，，的面积，其中正确的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
11．比较大小：___．（填“＞”“＜“或“＝”）
12．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为______.
13．如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积为______．
14．如图，中，，的周长是11，于，于，且点是的中点，则_______．
15．如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为___．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②△ABE≌△AHD；③BH＝FH；④AB＝HF，其中正确的有___．（填序号）
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知，求的值．
19．如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号）
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b，
∵
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，DE交边BC于点F．
（1）求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
23．如图，点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．
（1）如图1，当点在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点在的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用分式和二次根式有意义的条件，进而得出答案．
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴x-6≥0，，
∴x＞6，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，正确把握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于或等于0是解题关键．
2．D
【分析】
根据最简二次根式，二次根式的加减法和无理数的估算分别判断即可求解．
【详解】
解：A、，故不是最简二次根式，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故与最接近的整数是3，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，二次根式的加减法和无理数的估算，关键是熟练掌握计算法则计算即可求解．
3．C
【分析】
根据勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数的定义分别判断各说法即可.
【详解】
①由于，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有，故③说法正确；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，所以，所以，，一定是勾股数故④说法正确.
故选C.
【点睛】
此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
4．C
【分析】
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出OD的长，进而解答即可．
【详解】
∵在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，
∴AO=OC=AC=3，CD=AB=4，
∴BO=，
∴OD=BO=5，
∴△COD的周长=OD+OC+CD=5+3+4=12，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】
根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】
解：∵两个空白小正方形的面积是、
∴两个空白小正方形的边长是、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是．
故选：A
【点睛】
本题考查了开方运算在几何图形中的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．
6．A
【分析】
最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
【详解】
解：由题意可得：
a的最小长度为饮料罐的高，即为12，
当吸管斜放时，如图，此时a的长度最大，即为AB，
∵下底面半径是5，
∴AB==13，
∴a的取值范围是12≤a≤13，
故选A
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，难度不大．
7．C
【分析】
由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后运用勾股定理求得AB、CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，即可解答．
【详解】
解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，
∴AC＝2OB＝10，
∴CD＝AB＝＝＝6，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝3．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．D
【分析】
如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
9．D
【分析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出其边长，进而利用菱形的面积求法得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∵对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，
∴AO=CO=5cm，BO=DO=12cm，
∴ ，
∴BC=CD=AB=AD=13cm（菱形四边相等），
∴ （等面积法），
∴ ，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出菱形的边长是解题关键，要掌握用等等面积法求解线段的长度．
10．B
【分析】
①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；
②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，
故正确；
②∵EF=，
∴OE=2．
∵AO=AB=3，
∴AE=AO+OE=2+3=5，
故正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG=1，
CF=＝＝，
BH=3-1=2，
DH=3+1=4，
BD=，故错误；
④△COF的面积S△COF=×3×1=，
故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键．
11．＜
【分析】
首先比较出每组两个数的平方的大小关系，然后根据实数大小比较的方法判断出每组两个数的大小关系即可．
【详解】
解：，，28＞27，
∴，
∴，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出每组两个数的平方的大小关系．
12．2
【分析】
根据最简二次根式的定义求解即可.
【详解】
解：∵a是正整数，且是最简二次根式，
∴当a=1时，，不是最简二次根式，
当a=2时，，是最简二次根式，
则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
13．36
【分析】
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】
连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= =5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD=13=169,CD+AC=12+5=144+25=169，
∴CD+AC=AD，
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB⋅BC+AC⋅CD=×3×4+×5×12=36，
故四边形ABCD的面积是36
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线
14．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，通过计算可求得AB，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】
∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∴，
∵BE⊥AC，
∴，
∴的周长，
∴，
在中，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理，熟记各性质是解题的关键．
15．.
【分析】
由作法得MN垂直平分BD，则MB=MD，NB=ND，再证明△BMN为等腰三角形得到BM=BN，则可判断四边形BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出BN=5，然后利用面积法计算的边BC上的高．
【详解】
由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
而MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形BMDN为菱形，
∴，
设▱ABCD的边BC上的高为h，
∵，
∴，
即▱ABCD的边BC上的高为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
16．①②③
【分析】
根据矩形的性质得到∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，求得∠ADE=∠CED，推出△ABE和△ADH是等腰直角三角形，求得AE=AB，AD=AH，于是得到∠AED=∠CED，①正确；根据全等三角形的判定定理得到△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；由全等三角形的性质得到BE=DH，由等腰三角形的性质得到∠OHE=∠AHB=67.5°，推出∠EBH=∠OHD，根据全等三角形的性质得到BH=HF，故③正确；推出△ABH不是等边三角形，得到AB≠BH，于是得到AB≠HF，故④错误．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAH=45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE=AB，AD=AH，
∵AD=AB=AH，
∴AD=AE，AB=AH=DH=DC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE=DH，
∵AB=AH，
∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，
∴∠OHE=∠AHB=67.5°，
∴∠DHO=90°-67.5°=22.5°，
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，故③正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用平方差和完全平方公式将括号展开，再合并即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．2020
【分析】
根据二次根式的非负性得到b值，代入求出a，再代入所求式子计算即可．
【详解】
解：由已知得：b-2020≥0，2020-b≥0，
∴b=2020，
∴，
∴===2020．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算，解题的关键是利用非负性得到a，b的值．
19．m
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
解：在中，，m，m，
m，
此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
m，
m，
m．
答：船向岸边移动了m．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．见解析
【分析】
首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出，两者相等，整理即可得证．
【详解】
证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵，
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由平行四边形的性质及AB=BE，即可证明四边形BECD是平行四边形．
（2）由平行线的性质和角的关系，易证明BF=EF，又平行四边形对角线相互平分，所以BC=DE，即可证明．
【详解】
证明：（1）四边形为平行四边形
∴AB∥CD
∵E是AB的延长线上的点，
∴BE∥CD
∵BE=AB
∴BE=CD
四边形为平行四边形
（2）四边形为平行四边形
又
四边形为平行四边形
,
四边形为矩形
【点睛】
本题考查了平行四边的的性质和判定，平行线的性质，矩形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
22．（1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（1）且，详见解析；（2）猜想成立，详见解析；（3）猜想成立
【分析】
（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定和性质以及四边形内角和定理可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；
（3）根据题意作出图形，利用（2）中证明思路即可得出答案．
【详解】
（1）当点P在线段AO上时，且，理由如下：
∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴；
（2）当点在线段上时，且，理由如下：
∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴，
①当点与点重合时，；
②当点在的延长线上时，如图所示，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述：．
∴当点在线段上时，（1）中的猜想成立；
（3）当点在线段的延长线上时，如图所示，（1）中的猜想成立．
∵四边形是正方形，点在的延长线上，
∴，，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线的证明方法，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．．
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