-江苏省连云港市赣榆区、灌南县2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份-江苏省连云港市赣榆区、灌南县2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案），共25页。

2020-2021学年江苏省连云港市赣榆区、灌南县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小颗所给出的四个洗项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．若a＜b，则下列各式中正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．﹣2a＜﹣2b C． D．4a﹣4b＜0
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
3．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.0000009米，用科学记数法表示这个数是（　　）
A．9×10﹣7 B．9×10﹣8 C．0.9×10﹣7 D．0.9×10﹣8
4．关于x，y的方程组的解是，则m﹣n的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
5．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝138°，则∠2的度数是（　　）

A．48° B．42° C．58° D．52°
6．下列命题中，是真命题的有（　　）
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④对顶角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．36° C．37° D．38°
8．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9．“同位角相等”的逆命题是　 　．
10．分解因式x2﹣4的结果是 　 　．
11．不等式﹣3x＜6的解集是　 　．
12．已知M＝（x﹣2）（x﹣6），N＝（x﹣4）2，则M与N的大小关系是 　 　．
13．如图所示的五边形花环是用五个相同的等腰三角形拼成的，则∠ABC的度数为 　 　．

14．已知3a＝5，9b＝10，则3a+2b＝　 　．
15．如果不等式组的整数解有且仅有一个，这个解为1，且a，b均为整数，则a+b的最大值是　 　．
16．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为x＜，则不等式b（x﹣3）+a＜0的解集是 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．（8分）计算：
（1）（）2+（﹣1）2021﹣（π﹣4）0；
（2）a10÷a4﹣（﹣2a2）3﹣3a2•2a4．
18．（8分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
19．（8分）把下列各式分解因式：
（1）m2﹣4m+4；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
20．（10分）解不等式（组）：
（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
22．（8分）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的△DEF；
（2）四边形ABED的面积为 　 　；
（3）在网格中画出一个格点P，使得S△BCP＝S△DEF．（画出一个即可）

23．（12分）某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元．购买4瓶A品牌消毒液和5瓶B品牌消毒液需要花费600元．
（1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？
（2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3260元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？
24．（12分）已知：如图，△ABC中，在CA的延长线上取一点E，作EG⊥BC于点G．
（1）如图①，若AD⊥BC于点D，∠E＝∠3，那么AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据．
解：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义）．
∴AD∥EG （ 　 　）．
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝　 　（ 　 　）．
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴AD平分∠BAC （ 　 　）．
（2）如图②，若△ABC中∠BAC＝90°，∠ABC、∠CEG的角平分线相交于点H．
①求证：∠C+∠BFE＝180°；
②随着∠C的变化，∠BHE的大小会发生变化吗？如果有变化，请直接写出∠BHE与∠C的数量关系；如果没有变化，请直接写出∠BHE的度数．


25．（12分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　，x+y＝　 　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　 　．
26．（16分）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若△ABC，△DEF如图2摆放时，则∠PDE＝　 　．
（3）若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中△DEF的周长35cm，AF＝5cm，现将△ABC固定，将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，点D、E的对应点分别是D′、E′，请直接写出四边形DEAD′的周长．
（5）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．


2020-2021学年江苏省连云港市赣榆区、灌南县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小颗所给出的四个洗项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．若a＜b，则下列各式中正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．﹣2a＜﹣2b C． D．4a﹣4b＜0
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+b不一定小于0，如a＝0，b＝1，a+b＞0，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴＜，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴4a﹣4b＜0，原变形正确，故本选项符合题意；
故选：D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
【分析】A、根据同底数幂的运算法则判断即可；B、根据同类项定义判断即可；C、根据幂的乘方运算法则判断即可；D、根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，正确；
B、a2+a3不是同类项，不能合并，故不正确；
C、（a3）2＝a6，故不正确；
D、（3a）2＝9a2，故不正确，
故选：A．
3．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.0000009米，用科学记数法表示这个数是（　　）
A．9×10﹣7 B．9×10﹣8 C．0.9×10﹣7 D．0.9×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000009＝9×10﹣7；
故选：A．
4．关于x，y的方程组的解是，则m﹣n的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】根据方程组的解的概念将方程组的解代入原方程组求解．
【解答】解：将代入方程组，
可得：，
由②可得：m﹣n＝﹣2，
故选：B．
5．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝138°，则∠2的度数是（　　）

A．48° B．42° C．58° D．52°
【分析】先利用∠1、90°、∠3的关系，求出∠3，再利用平行线的性质求出∠2．
【解答】解：∵∠1＝90°+∠3，
∴∠3＝48°．
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选：A．

6．下列命题中，是真命题的有（　　）
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④对顶角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质及判定、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，符合题意；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；
④对顶角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．36° C．37° D．38°
【分析】根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝73°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．
【解答】解：如图，设C′D与AC交于点O，
∵∠C＝35°，
∴∠C′＝∠C＝35°，
∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝108°，
∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝108°﹣35°＝73°，
∵∠DOC＝∠2+∠C′，
∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．
故选：D．

8．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【分析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
【解答】解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，
，
解得，3＜x≤8，
∵x为整数，也为整数，
∴x＝4或6或8，
∴有3种购买方案．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9．“同位角相等”的逆命题是　相等的角是同位角　．
【分析】“同位角相等”的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．
故答案为：相等的角是同位角．
10．分解因式x2﹣4的结果是 　（x+2）（x﹣2）　．
【分析】运用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
11．不等式﹣3x＜6的解集是　x＞﹣2　．
【分析】根据不等式的性质在不等式的两边同时除以﹣3即可求出x的取值范围．
【解答】解：不等式的性质再不等式的两边同时除以﹣3得，x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
12．已知M＝（x﹣2）（x﹣6），N＝（x﹣4）2，则M与N的大小关系是 　M＜N　．
【分析】利用多项式乘多项式的运算法则对M进行化简，将N利用完全平方公式展开，即可比较两者的大小．
【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣6x﹣2x+12＝x2﹣8x+12，
N＝（x﹣4）2＝x2﹣8x+16，
∴M＜N．
故答案为：M＜N．
13．如图所示的五边形花环是用五个相同的等腰三角形拼成的，则∠ABC的度数为 　72°　．

【分析】利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD＝108°，然后根据三角形内角和求解即可．
【解答】解：如图，

∵五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，
∴五边形花环为正五边形，
∴∠ABD＝＝108°，
∵∠ABC+∠CBD＝∠ABC+∠BAC＝108°，
∴∠BCA＝180°﹣108°＝72°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°．
14．已知3a＝5，9b＝10，则3a+2b＝　50　．
【分析】由3a＝5，9b＝10，根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵3a＝5，9b＝10，
∴3a+2b＝3a×32b＝3a×9b＝5×10＝50．
故答案为：50．
15．如果不等式组的整数解有且仅有一个，这个解为1，且a，b均为整数，则a+b的最大值是　25　．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再根据有且只有一个正整数解1列出关于a、b的不等式组，解之求出整数a、b的最大值，然后相加即可得解．
【解答】解：解不等式9x﹣a≥0，得：x≥，
解不等式8x﹣b＜0，得：x＜，
则不等式组的解集为≤x＜，
∵不等式组的整数解为1，
∴，
解得，
∴a的最大值为9，b的最大值为16，
则a+b的最大值为9+16＝25，
故答案为：25．
16．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为x＜，则不等式b（x﹣3）+a＜0的解集是 　x＜5　．
【分析】根据不等式的性质3，可得a、b的关系，根据不等式的性质1、2，可得答案．
【解答】解：由关于x的不等式ax+b＞0的解集为x＜，得a＜0，＝，
a＝﹣2b＜0．
解不等式b（x﹣3）+a＜0得x＜﹣+3＝2+3＝5．
故答案为：x＜5．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．（8分）计算：
（1）（）2+（﹣1）2021﹣（π﹣4）0；
（2）a10÷a4﹣（﹣2a2）3﹣3a2•2a4．
【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案；
（2）直接利用单项式乘单项式和积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：（1）（）2+（﹣1）2021﹣（π﹣4）0
＝﹣1﹣1
＝﹣；

（2）a10÷a4﹣（﹣2a2）3﹣3a2•2a4
＝a6﹣（﹣2）3•（a2）3﹣6a6
＝a6+8a6﹣6a6
＝3a6．
18．（8分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+9b2
＝﹣4ab+10b2，
当a＝，b＝1时，原式＝﹣4××1+10×12＝﹣2+10＝8．
19．（8分）把下列各式分解因式：
（1）m2﹣4m+4；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式（a﹣1），进而得出答案．
【解答】解：（1）m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；

（2）a（a﹣1）+a﹣1＝（a﹣1）（a+1）．
20．（10分）解不等式（组）：
（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项求出不等式的解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
【解答】解：（1）﹣≤1，
去分母，得2（3x+1）﹣（5x﹣1）≤4，
去括号，得6x+2﹣5x+1≤4，
移项，得6x﹣5x≤4﹣2﹣1，
合并同类项得x≤1，
在数轴上表示为：

（2），
由①得：x＜1；
由②得x≥﹣1；
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
∴它的所有整数解为﹣1，0．
21．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法即可求解；
（2）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
①代入②得，3（y﹣2）+2y＝9，
解得y＝3，
把y＝3代入①得，x＝3﹣2＝1，
所以方程组的解为：．
（2），
①×2﹣②得7x＝35，
解得，x＝5，
把x＝5代入②得，15+4y＝15，
解得，y＝0，
所以方程组的解为：．
22．（8分）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中请画出平移后的△DEF；
（2）四边形ABED的面积为 　28　；
（3）在网格中画出一个格点P，使得S△BCP＝S△DEF．（画出一个即可）

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点E，F即可．
（2）平行四边形ABED的面积＝平行四边形ABMN的面积，利用轴的思想解决问题．
（3）取AB的中点P即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）平行四边形ABED的面积＝平行四边形ABMN的面积＝7×4＝28．
故答案为：28．
（3）如图，点P即为所求（答案不唯一）．

23．（12分）某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元．购买4瓶A品牌消毒液和5瓶B品牌消毒液需要花费600元．
（1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？
（2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3260元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？
【分析】（1）设购买一瓶A品牌消毒液需要x元，则购买一瓶B品牌消毒液需要（x+30）元，根据购买4瓶A品牌消毒液和5瓶B品牌消毒液需要花费600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶B品牌消毒液，则购买（50﹣m）瓶A品牌消毒液，根据总价＝单价×数量，结合该校此次购买的总费用不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一瓶A品牌消毒液需要x元，则购买一瓶B品牌消毒液需要（x+30）元，
依题意得：4x+5（x+30）＝600，
解得：x＝50，
∴x+30＝80．
答：购买一瓶A品牌消毒液需要50元，一瓶B品牌消毒液需要80元．
（2）设可以购买m瓶B品牌消毒液，则购买（50﹣m）瓶A品牌消毒液，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3260，
解得：m≤31．
又∵m为整数，
∴m可以取得的最大值为31．
答：最多可以购买31瓶B品牌消毒液．
24．（12分）已知：如图，△ABC中，在CA的延长线上取一点E，作EG⊥BC于点G．
（1）如图①，若AD⊥BC于点D，∠E＝∠3，那么AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据．
解：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义）．
∴AD∥EG （ 　同位角相等，两直线平行　）．
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝　∠3　（ 　两直线平行，内错角相等　）．
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴AD平分∠BAC （ 　角平分线的定义　）．
（2）如图②，若△ABC中∠BAC＝90°，∠ABC、∠CEG的角平分线相交于点H．
①求证：∠C+∠BFE＝180°；
②随着∠C的变化，∠BHE的大小会发生变化吗？如果有变化，请直接写出∠BHE与∠C的数量关系；如果没有变化，请直接写出∠BHE的度数．


【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得AD∥EG，再利用平行线的性质两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，由角平分线的定义可证明结论；
（2）①由四边形内角和为360°可得∠C+∠AFG＝180°，结合对顶角的性质可证明结论；
②延长EH交BC于点M，由三角形外角的性质可得∠BHE＝∠HBM+∠CEM+∠C，结合角平分线的定义可得2∠BHE＝∠ABC+∠CEG+2∠C，再利用三角形外角的性质可求得2∠C+∠ABC+∠CEG＝180°，进而可求解．
【解答】解：（1）是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义）．
∴AD∥EG （ 同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴AD平分∠BAC （ 角平分线的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；
（2）①证明：∵∠C+∠BAC+∠EGC+∠AFG＝360°，
∠BAC＝90°，∠CGE＝90°，
∴∠C+∠AFG＝180°，
∵∠BFE＝∠AFG，
∴∠C+∠BFE＝180°；
②延长EH交BC于点M，

∵∠BHE＝∠HBM+∠BME，∠BME＝∠C+∠CEM，
∴∠BHE＝∠HBM+∠CEM+∠C，
∵BH平分∠ABC，EH平分∠CEG，
∴∠HBM+∠CEM＝（∠ABC+∠CEG），
∴2∠BHE＝∠ABC+∠CEG+2∠C，
∵∠C+∠ABC＝90°，∠C+∠CEG＝90°，
∴2∠C+∠ABC+∠CEG＝90°+90°＝180°，
∴2∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝90°．
25．（12分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1　，x+y＝　5　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　﹣9　．
【分析】（1）将两方程相加可求x+y的值，将两方程相减可求x﹣y的值；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解；
（3）由题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1），
①+②可得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
故答案为：﹣1，5；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，
由题意可得：，
∴①×2﹣②可得x+y+z＝6，
∴5x+5y+5z＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；
（3）由题意可得：，
①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣9，
∴1*1＝a+b+c＝﹣9，
故答案为﹣9．
26．（16分）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若△ABC，△DEF如图2摆放时，则∠PDE＝　15°　．
（3）若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中△DEF的周长35cm，AF＝5cm，现将△ABC固定，将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，点D、E的对应点分别是D′、E′，请直接写出四边形DEAD′的周长．
（5）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．

【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE+EF+DF＝35cm，可得出答案；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【解答】（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF﹣∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°﹣45°＝15°；
故答案为：15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°﹣∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA﹣∠LFA＝150°﹣45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°﹣105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°；
（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，
∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，
∵DE+EF+DF＝35cm，
∴DE+EF+D′A+AF+DD′＝35+10＝45（cm），
即四边形DEAD′的周长为45cm．
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
①当BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴3t＝30，
解得：t＝10；
②当BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
③当BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM＝∠EAM+∠DFE＝45°+30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°﹣∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°﹣∠EAM﹣∠CAK＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∴3t＝120，
解得：t＝40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．