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上海市金山区2020-2021学年八年级下学期期末考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份上海市金山区2020-2021学年八年级下学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市金山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝1﹣x B．y＝ C．y＝kx+1 D．y＝x2+1
2．如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
3．下列一次函数中函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝1﹣2x D．y＝x﹣1
4．下列事件：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天；②在直角坐标系中一次函数的图象一定是直线；③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数；④掷一枚骰子，点数为偶数的面朝上．其中属于确定事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．平面内有三个不同的点A、B、C，++的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．单位向量
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）在直角坐标系中，直线l与直线y＝﹣x+2平行，且截距为3，那么直线l的表达式是 ．
8．（2分）在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象不经过第 象限．
9．（2分）直线y＝﹣2x+3向上平移3个单位后，所得直线的函数表达式是 ．
10．（2分）方程﹣1＝0的解是 ．
11．（2分）方程组的解为： ．
12．（2分）布袋里有3个黄球、4个白球，5个绿球，它们除色外其它都相同，从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是 ．
13．（2分）从2、6、9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是 ．
14．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 ．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，BE＝3，EC＝5，那么▱ABCD的周长等于 ．
16．（2分）如果菱形的一条对角线长是另一条长的倍，这个菱形的面积等6，那么这个菱形的周长等于 ．
17．（2分）如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于 ．
18．（2分）如图，已知矩形ABCD中AB＝3，BC＝5，E是的边CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折后，点D恰好落在边BC上的点F处，那么DE的长为 ．
三、解答题：（本大题共8题，满分58分）
19．（6分）解方程：x﹣＝2．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）已知：一次函数y＝（m﹣2）x+4的图象经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
22．（6分）如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设＝，＝，＝．图中的线段都画成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在图中求作+﹣（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（6分）已知：如图四边形ABCD是菱形，E是对角线BD上的一点，联结AE、CE．求证：∠DAE＝∠DCE．
24．（8分）已知：如图，点O是△ABC内一点，D、E、F、G分别是OB、OC、AC、AB的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，OB＝OC，求证：四边形DEFG是矩形．
25．（8分）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）
26．（12分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
2020-2021学年上海市金山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝1﹣x B．y＝ C．y＝kx+1 D．y＝x2+1
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：A、y＝1﹣x是一次函数，故此选项符合题意；
B、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、当k＝0时不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2+1是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
【分析】根据方程无解，可知含x的系数为0，常数不为0，据此求解．
【解答】解：∵关于x的方程ax＝b无解，
∴a＝0，b≠0，
故选：D．
3．下列一次函数中函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝1﹣2x D．y＝x﹣1
【分析】一次函数y＝kx+b中，k＜0时y随x增大而减小．
【解答】解：∵一次函数中函数值y随x的增大而减小，
∴y＝kx+b中，k＜0．
故选：C．
4．下列事件：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天；②在直角坐标系中一次函数的图象一定是直线；③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数；④掷一枚骰子，点数为偶数的面朝上．其中属于确定事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天是随机事件，不符合题意；
②在直角坐标系中一次函数的图象一定是直线是必然事件，符合题意；
③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数是必然事件，符合题意；
④掷一枚骰子，点数为偶数的面朝上是随机事件，不符合题意，
确定事件有2个，
故选：B．
5．平面内有三个不同的点A、B、C，++的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．单位向量
【分析】分两种情况解答：三点共线和三点不共线，当三点共线时，根据向量的加法法则解答；当三点不共线时，利用三角形法则解答．
【解答】解：当三点共线时，++＝+＝﹣+＝．
当三点不共线时，++＝+＝﹣+＝．
综上所述，++的结果是．
故选：B．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．
【解答】解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正不符合题意；
C、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°．
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°．
∴CD∥AB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
故本选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）在直角坐标系中，直线l与直线y＝﹣x+2平行，且截距为3，那么直线l的表达式是 y＝﹣x+3 ．
【分析】根据直线l与直线y＝﹣x+2平行，直线l的解析式的一次项系数等于﹣1，再根据在y轴上的截距是3，可得直线l的解析式．
【解答】解：∵直线l与直线y＝﹣x+2平行，
∴设直线l的解析式为：y＝﹣x+b，
∵在y轴上的截距是3，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
∴直线l的表达式为：y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+3．
8．（2分）在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象不经过第 二 象限．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：一次函数y＝x﹣1，k＝＞0，b＝﹣1＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
9．（2分）直线y＝﹣2x+3向上平移3个单位后，所得直线的函数表达式是 y＝﹣2x+6 ．
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+3向上平移3个单位后，所得图象对应的函数表达式为：y＝﹣2x+3+3，即y＝﹣2x+6，
故答案为：y＝﹣2x+6．
10．（2分）方程﹣1＝0的解是 x＝2 ．
【分析】移项得出＝1，两边平方得出3﹣x＝1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：移项，得＝1，
两边平方，得3﹣x＝1，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2．
故答案为：x＝2．
11．（2分）方程组的解为： ．
【分析】此题只要将①变形代入②式，转化为解一元二次方程即可解答．
【解答】解：
由题意可知x＝3﹣y③，代入xy＝2可得
3y﹣y2＝2，变式为y2﹣3y+2＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，
解得：．
故答案为：．
12．（2分）布袋里有3个黄球、4个白球，5个绿球，它们除色外其它都相同，从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是 ．
【分析】白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：∵一共是3+4+5＝12（个），4个白球，
∴从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是＝．
故答案为：．
13．（2分）从2、6、9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有4种，
∴在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率为＝，
故答案为：．
14．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【解答】解：360°÷60°＝6．
故这个多边形是六边形．
故答案为：6．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，BE＝3，EC＝5，那么▱ABCD的周长等于 26 ．
【分析】先由▱ABCD中，BE＝3，EC＝5，求得BC的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：在▱ABCD中，BE＝3，EC＝5，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝2×（8+5）＝26．
故答案为：26．
16．（2分）如果菱形的一条对角线长是另一条长的倍，这个菱形的面积等6，那么这个菱形的周长等于 8 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，因此可设较短对角线长x，则较长的对角线为x，根据已知列方程求得两条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长即可．
【解答】解：设较短对角线长x，则较长的对角线为x，根据题意可得：
x•x＝6，
解得：x＝2，
故较长的对角线为：2×＝6，
则菱形的边长为：＝2，
故这个菱形的周长等于：2×4＝8．
故答案为：8．
17．（2分）如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于 4﹣4 ．
【分析】根据正方形的性质得到∠DBC＝45°，求出∠E＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠E＝∠DBC﹣∠BCE＝30°，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝＝4，
∴OC＝OB＝，
∵∠E＝30°，
∴OE＝OC＝2，BE＝2﹣2，
∴△BCE的面积＝＝（2﹣2）×＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
18．（2分）如图，已知矩形ABCD中AB＝3，BC＝5，E是的边CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折后，点D恰好落在边BC上的点F处，那么DE的长为 ．
【分析】先根据翻折的性质得出AF＝AD，FE＝DE，然后在Rt△ABF中由勾股定理求出BF＝4，FC＝1，设DE＝x，则EF＝x，EC＝1﹣x，在Rt△EFC中，由勾股定理求出列方程求出x即可．
【解答】解：∵△AFE是△ADE沿AE翻折得到的，
∴△AFE≌△ADE，
∴AD＝AF，DE＝FE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，
在Rt△ABF中，
BF＝＝＝＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设DE＝x，则EC＝3﹣x，EF＝x，
在Rt△EFC中，
EF²＝EC²+FC²，
即x²＝（3﹣x）²+1²，
解得：x＝，
∴DE＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8题，满分58分）
19．（6分）解方程：x﹣＝2．
【分析】将已知方程适当变形，再两边平方，化为一元二次方程，即可解出x的值，最后代入原方程检验．
【解答】解：方程变形为：x﹣2＝，
两边平方得：x2﹣4x+4＝2x﹣1，
整理得：x2﹣6x+5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
当x1＝1时，左边＝1﹣＝0，右边＝2，
左边≠右边，
∴x1＝1是增根，
当x2＝5时，左边＝5﹣＝2，右边＝2，
左边＝右边，
∴x2＝5是原方程的根，
∴原方程的根为x＝5．
20．（6分）解方程组：．
【分析】利用换元法和加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：设＝a，＝b，
则原方程组变形为，
②×2，得：6a+2b＝20③，
①+③，得：7a＝21，
解得：a＝3，
把a＝3代入①，得：3﹣2b＝1，
解得：b＝1，
∴，
解得：x＝，
经检验x＝是原分式方程的解，
，
解得：y＝﹣2，
经检验y＝﹣2是原分式方程的解，
∴方程组的解为．
21．（6分）已知：一次函数y＝（m﹣2）x+4的图象经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）把A（2，6）代入一次函数y＝（m﹣2）x+4求出m的值，即可得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的图象与x轴交于点B求出其坐标，根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（2，6）代入一次函数y＝（m﹣2）x+4，
得：6＝2（m﹣2）+4，m＝3，
∴直线的解析式为：y＝x+4；
（2）y＝x+4与x轴相交于点B，
B点坐标为：（﹣4，0），
所以△AOB的面积＝×OB×6＝12．
故△AOB的面积为12．
22．（6分）如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设＝，＝，＝．图中的线段都画成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ + ，＝ ++， ．
（2）在图中求作+﹣（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）利用三角形法则求解即可．
（2）由+﹣＝﹣＝，推出即为所求．
【解答】解：（1）＝+＝+，＝+＝++，
故答案为：+，++．
（2）∵+﹣＝﹣＝，
∴即为所求．
23．（6分）已知：如图四边形ABCD是菱形，E是对角线BD上的一点，联结AE、CE．求证：∠DAE＝∠DCE．
【分析】根据菱形的性质可以得到DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，然后即可证明△ADE≌△CDE，从而可以得到结论成立．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE．
24．（8分）已知：如图，点O是△ABC内一点，D、E、F、G分别是OB、OC、AC、AB的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，OB＝OC，求证：四边形DEFG是矩形．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到FG∥BC，FG＝BC，DE∥BC，DE＝BC，进而得到FG∥DE，FG＝DE，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）连接AO并延长交BC于H，根据线段垂直平分线的性质得到AH⊥BC，根据三角形中位线定理得到DG∥AH，根据矩形的判定定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵F、G分别是AC、AB的中点，
∴FG是△ABC的中位线，
∴FG∥BC，FG＝BC，
同理可得：DE∥BC，DE＝BC，
∴FG∥DE，FG＝DE，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）连接AO并延长交BC于H，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，即AH⊥BC于H，
∴AH⊥DE，
∵D、G分别是OB、AB的中点，
∴DG∥AH，
∴DG⊥DE，
∴平行四边形DEFG是矩形．
25．（8分）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌的小电器单价为（m﹣20）元，根据甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，即可得出关于m的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将（4，4），（12，20）代入得：
，
解得：，
∴y关于x的函数解析式为y＝2x﹣4；
（2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌的小电器单价为（m﹣20）元，
依题意得：，
解得：m1＝200，m2＝60．
∵小电器的单价大于100元，
∴m＝200，
200﹣20＝180（元），
答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元．
26．（12分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再利用SSS证明△ABC≌△DCB，根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）过点A作AM⊥BC于M，先证明四边形ADEM是矩形，设EM＝AD＝x，则AM＝BM＝（8﹣x），运用梯形面积公式即可得出答案；
（3）分三种情况：①当∠AOB＝∠ABO＝45°时，可得出△ADF时等腰直角三角形，根据BM+EM+CE＝8，即AD+AD+AD＝8，可求得答案；
②当∠BAO＝∠ABO＝45°时，得出AF与DF重合，与四边形ABCD是梯形不符，故此情况不存在；
③当∠BAO＝∠AOB时，由BO﹣BM＝OM，得出BM﹣BM＝AD，进而求得BM＝AD，再由2BM+AD＝8，即可求得答案．
【解答】解：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴AC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）如图2，过点A作AM⊥BC于M，
∵DE⊥BC，
∴∠AMB＝∠AME＝∠DEM＝∠DEC＝90°，
∵∠ABC＝∠BCD＝45°，
∴BM＝AM，CE＝DE，
∵AD∥BC，
∴AM＝DE，∠DAM＝180°﹣∠AME＝90°，
∴BM＝CE，
∵∠AME＝∠DEM＝∠DAM＝90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴设EM＝AD＝x，
∴AM＝BM＝（8﹣x），
∴S梯形ABCD＝•（AD+BC）•AM＝（x+8）×（8﹣x）＝﹣x2+16，
∴y＝﹣x2+16（x＞0）．
（3）作AM⊥BC于M，
由（2）得：AM＝BM＝DE＝CE，EM＝AD，
∵△AOB是等腰三角形，
∴∠AOB＝∠ABO或∠BAO＝∠ABO或∠BAO＝∠AOB，
①当∠AOB＝∠ABO＝45°时，∠BAO＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAO＝135°﹣90°＝45°，
∵∠ADF＝90°，
∴△ADF时等腰直角三角形，
∴AD＝DF＝2DE＝2EC，
∵BM+EM+CE＝8，
∴AD+AD+AD＝8，
∴AD＝4；
②当∠BAO＝∠ABO＝45°时，∠AOB＝90°，
∴AF⊥BC，
∵DF⊥BC，
∴AF与DF重合，与四边形ABCD是梯形不符，
③当∠BAO＝∠AOB时，
则BO＝AB＝BM＝AM，
∵AD∥BC，DE＝EF，
∴＝＝，
∴OE＝AD，
∵EM＝AD，
∴OM＝AD，
∵BO﹣BM＝OM，
∴BM﹣BM＝AD，
∴BM＝AD，
由（2）知，2BM+AD＝8，
∴（+1）AD+AD＝8，
∴AD＝8﹣4，
综上所述，AD的长为4或8﹣4．
2020-2021学年上海市金山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝1﹣x B．y＝ C．y＝kx+1 D．y＝x2+1
2．如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
3．下列一次函数中函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝1﹣2x D．y＝x﹣1
4．下列事件：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天；②在直角坐标系中一次函数的图象一定是直线；③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数；④掷一枚骰子，点数为偶数的面朝上．其中属于确定事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．平面内有三个不同的点A、B、C，++的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．单位向量
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）在直角坐标系中，直线l与直线y＝﹣x+2平行，且截距为3，那么直线l的表达式是 ．
8．（2分）在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象不经过第 象限．
9．（2分）直线y＝﹣2x+3向上平移3个单位后，所得直线的函数表达式是 ．
10．（2分）方程﹣1＝0的解是 ．
11．（2分）方程组的解为： ．
12．（2分）布袋里有3个黄球、4个白球，5个绿球，它们除色外其它都相同，从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是 ．
13．（2分）从2、6、9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是 ．
14．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 ．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，BE＝3，EC＝5，那么▱ABCD的周长等于 ．
16．（2分）如果菱形的一条对角线长是另一条长的倍，这个菱形的面积等6，那么这个菱形的周长等于 ．
17．（2分）如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于 ．
18．（2分）如图，已知矩形ABCD中AB＝3，BC＝5，E是的边CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折后，点D恰好落在边BC上的点F处，那么DE的长为 ．
三、解答题：（本大题共8题，满分58分）
19．（6分）解方程：x﹣＝2．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）已知：一次函数y＝（m﹣2）x+4的图象经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
22．（6分）如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设＝，＝，＝．图中的线段都画成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在图中求作+﹣（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（6分）已知：如图四边形ABCD是菱形，E是对角线BD上的一点，联结AE、CE．求证：∠DAE＝∠DCE．
24．（8分）已知：如图，点O是△ABC内一点，D、E、F、G分别是OB、OC、AC、AB的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，OB＝OC，求证：四边形DEFG是矩形．
25．（8分）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）
26．（12分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
2020-2021学年上海市金山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝1﹣x B．y＝ C．y＝kx+1 D．y＝x2+1
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：A、y＝1﹣x是一次函数，故此选项符合题意；
B、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、当k＝0时不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2+1是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
【分析】根据方程无解，可知含x的系数为0，常数不为0，据此求解．
【解答】解：∵关于x的方程ax＝b无解，
∴a＝0，b≠0，
故选：D．
3．下列一次函数中函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝1﹣2x D．y＝x﹣1
【分析】一次函数y＝kx+b中，k＜0时y随x增大而减小．
【解答】解：∵一次函数中函数值y随x的增大而减小，
∴y＝kx+b中，k＜0．
故选：C．
4．下列事件：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天；②在直角坐标系中一次函数的图象一定是直线；③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数；④掷一枚骰子，点数为偶数的面朝上．其中属于确定事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天是随机事件，不符合题意；
②在直角坐标系中一次函数的图象一定是直线是必然事件，符合题意；
③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数是必然事件，符合题意；
④掷一枚骰子，点数为偶数的面朝上是随机事件，不符合题意，
确定事件有2个，
故选：B．
5．平面内有三个不同的点A、B、C，++的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．单位向量
【分析】分两种情况解答：三点共线和三点不共线，当三点共线时，根据向量的加法法则解答；当三点不共线时，利用三角形法则解答．
【解答】解：当三点共线时，++＝+＝﹣+＝．
当三点不共线时，++＝+＝﹣+＝．
综上所述，++的结果是．
故选：B．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．
【解答】解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正不符合题意；
C、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°．
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°．
∴CD∥AB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
故本选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）在直角坐标系中，直线l与直线y＝﹣x+2平行，且截距为3，那么直线l的表达式是 y＝﹣x+3 ．
【分析】根据直线l与直线y＝﹣x+2平行，直线l的解析式的一次项系数等于﹣1，再根据在y轴上的截距是3，可得直线l的解析式．
【解答】解：∵直线l与直线y＝﹣x+2平行，
∴设直线l的解析式为：y＝﹣x+b，
∵在y轴上的截距是3，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
∴直线l的表达式为：y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+3．
8．（2分）在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象不经过第 二 象限．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：一次函数y＝x﹣1，k＝＞0，b＝﹣1＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
9．（2分）直线y＝﹣2x+3向上平移3个单位后，所得直线的函数表达式是 y＝﹣2x+6 ．
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+3向上平移3个单位后，所得图象对应的函数表达式为：y＝﹣2x+3+3，即y＝﹣2x+6，
故答案为：y＝﹣2x+6．
10．（2分）方程﹣1＝0的解是 x＝2 ．
【分析】移项得出＝1，两边平方得出3﹣x＝1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：移项，得＝1，
两边平方，得3﹣x＝1，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2．
故答案为：x＝2．
11．（2分）方程组的解为： ．
【分析】此题只要将①变形代入②式，转化为解一元二次方程即可解答．
【解答】解：
由题意可知x＝3﹣y③，代入xy＝2可得
3y﹣y2＝2，变式为y2﹣3y+2＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，
解得：．
故答案为：．
12．（2分）布袋里有3个黄球、4个白球，5个绿球，它们除色外其它都相同，从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是 ．
【分析】白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：∵一共是3+4+5＝12（个），4个白球，
∴从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是＝．
故答案为：．
13．（2分）从2、6、9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有4种，
∴在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率为＝，
故答案为：．
14．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【解答】解：360°÷60°＝6．
故这个多边形是六边形．
故答案为：6．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，BE＝3，EC＝5，那么▱ABCD的周长等于 26 ．
【分析】先由▱ABCD中，BE＝3，EC＝5，求得BC的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：在▱ABCD中，BE＝3，EC＝5，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝2×（8+5）＝26．
故答案为：26．
16．（2分）如果菱形的一条对角线长是另一条长的倍，这个菱形的面积等6，那么这个菱形的周长等于 8 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，因此可设较短对角线长x，则较长的对角线为x，根据已知列方程求得两条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长即可．
【解答】解：设较短对角线长x，则较长的对角线为x，根据题意可得：
x•x＝6，
解得：x＝2，
故较长的对角线为：2×＝6，
则菱形的边长为：＝2，
故这个菱形的周长等于：2×4＝8．
故答案为：8．
17．（2分）如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于 4﹣4 ．
【分析】根据正方形的性质得到∠DBC＝45°，求出∠E＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠E＝∠DBC﹣∠BCE＝30°，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝＝4，
∴OC＝OB＝，
∵∠E＝30°，
∴OE＝OC＝2，BE＝2﹣2，
∴△BCE的面积＝＝（2﹣2）×＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
18．（2分）如图，已知矩形ABCD中AB＝3，BC＝5，E是的边CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折后，点D恰好落在边BC上的点F处，那么DE的长为 ．
【分析】先根据翻折的性质得出AF＝AD，FE＝DE，然后在Rt△ABF中由勾股定理求出BF＝4，FC＝1，设DE＝x，则EF＝x，EC＝1﹣x，在Rt△EFC中，由勾股定理求出列方程求出x即可．
【解答】解：∵△AFE是△ADE沿AE翻折得到的，
∴△AFE≌△ADE，
∴AD＝AF，DE＝FE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，
在Rt△ABF中，
BF＝＝＝＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设DE＝x，则EC＝3﹣x，EF＝x，
在Rt△EFC中，
EF²＝EC²+FC²，
即x²＝（3﹣x）²+1²，
解得：x＝，
∴DE＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8题，满分58分）
19．（6分）解方程：x﹣＝2．
【分析】将已知方程适当变形，再两边平方，化为一元二次方程，即可解出x的值，最后代入原方程检验．
【解答】解：方程变形为：x﹣2＝，
两边平方得：x2﹣4x+4＝2x﹣1，
整理得：x2﹣6x+5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
当x1＝1时，左边＝1﹣＝0，右边＝2，
左边≠右边，
∴x1＝1是增根，
当x2＝5时，左边＝5﹣＝2，右边＝2，
左边＝右边，
∴x2＝5是原方程的根，
∴原方程的根为x＝5．
20．（6分）解方程组：．
【分析】利用换元法和加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：设＝a，＝b，
则原方程组变形为，
②×2，得：6a+2b＝20③，
①+③，得：7a＝21，
解得：a＝3，
把a＝3代入①，得：3﹣2b＝1，
解得：b＝1，
∴，
解得：x＝，
经检验x＝是原分式方程的解，
，
解得：y＝﹣2，
经检验y＝﹣2是原分式方程的解，
∴方程组的解为．
21．（6分）已知：一次函数y＝（m﹣2）x+4的图象经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）把A（2，6）代入一次函数y＝（m﹣2）x+4求出m的值，即可得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的图象与x轴交于点B求出其坐标，根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（2，6）代入一次函数y＝（m﹣2）x+4，
得：6＝2（m﹣2）+4，m＝3，
∴直线的解析式为：y＝x+4；
（2）y＝x+4与x轴相交于点B，
B点坐标为：（﹣4，0），
所以△AOB的面积＝×OB×6＝12．
故△AOB的面积为12．
22．（6分）如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设＝，＝，＝．图中的线段都画成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ + ，＝ ++， ．
（2）在图中求作+﹣（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）利用三角形法则求解即可．
（2）由+﹣＝﹣＝，推出即为所求．
【解答】解：（1）＝+＝+，＝+＝++，
故答案为：+，++．
（2）∵+﹣＝﹣＝，
∴即为所求．
23．（6分）已知：如图四边形ABCD是菱形，E是对角线BD上的一点，联结AE、CE．求证：∠DAE＝∠DCE．
【分析】根据菱形的性质可以得到DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，然后即可证明△ADE≌△CDE，从而可以得到结论成立．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE．
24．（8分）已知：如图，点O是△ABC内一点，D、E、F、G分别是OB、OC、AC、AB的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，OB＝OC，求证：四边形DEFG是矩形．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到FG∥BC，FG＝BC，DE∥BC，DE＝BC，进而得到FG∥DE，FG＝DE，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）连接AO并延长交BC于H，根据线段垂直平分线的性质得到AH⊥BC，根据三角形中位线定理得到DG∥AH，根据矩形的判定定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵F、G分别是AC、AB的中点，
∴FG是△ABC的中位线，
∴FG∥BC，FG＝BC，
同理可得：DE∥BC，DE＝BC，
∴FG∥DE，FG＝DE，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）连接AO并延长交BC于H，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，即AH⊥BC于H，
∴AH⊥DE，
∵D、G分别是OB、AB的中点，
∴DG∥AH，
∴DG⊥DE，
∴平行四边形DEFG是矩形．
25．（8分）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌的小电器单价为（m﹣20）元，根据甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，即可得出关于m的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将（4，4），（12，20）代入得：
，
解得：，
∴y关于x的函数解析式为y＝2x﹣4；
（2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌的小电器单价为（m﹣20）元，
依题意得：，
解得：m1＝200，m2＝60．
∵小电器的单价大于100元，
∴m＝200，
200﹣20＝180（元），
答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元．
26．（12分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再利用SSS证明△ABC≌△DCB，根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）过点A作AM⊥BC于M，先证明四边形ADEM是矩形，设EM＝AD＝x，则AM＝BM＝（8﹣x），运用梯形面积公式即可得出答案；
（3）分三种情况：①当∠AOB＝∠ABO＝45°时，可得出△ADF时等腰直角三角形，根据BM+EM+CE＝8，即AD+AD+AD＝8，可求得答案；
②当∠BAO＝∠ABO＝45°时，得出AF与DF重合，与四边形ABCD是梯形不符，故此情况不存在；
③当∠BAO＝∠AOB时，由BO﹣BM＝OM，得出BM﹣BM＝AD，进而求得BM＝AD，再由2BM+AD＝8，即可求得答案．
【解答】解：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴AC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）如图2，过点A作AM⊥BC于M，
∵DE⊥BC，
∴∠AMB＝∠AME＝∠DEM＝∠DEC＝90°，
∵∠ABC＝∠BCD＝45°，
∴BM＝AM，CE＝DE，
∵AD∥BC，
∴AM＝DE，∠DAM＝180°﹣∠AME＝90°，
∴BM＝CE，
∵∠AME＝∠DEM＝∠DAM＝90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴设EM＝AD＝x，
∴AM＝BM＝（8﹣x），
∴S梯形ABCD＝•（AD+BC）•AM＝（x+8）×（8﹣x）＝﹣x2+16，
∴y＝﹣x2+16（x＞0）．
（3）作AM⊥BC于M，
由（2）得：AM＝BM＝DE＝CE，EM＝AD，
∵△AOB是等腰三角形，
∴∠AOB＝∠ABO或∠BAO＝∠ABO或∠BAO＝∠AOB，
①当∠AOB＝∠ABO＝45°时，∠BAO＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAO＝135°﹣90°＝45°，
∵∠ADF＝90°，
∴△ADF时等腰直角三角形，
∴AD＝DF＝2DE＝2EC，
∵BM+EM+CE＝8，
∴AD+AD+AD＝8，
∴AD＝4；
②当∠BAO＝∠ABO＝45°时，∠AOB＝90°，
∴AF⊥BC，
∵DF⊥BC，
∴AF与DF重合，与四边形ABCD是梯形不符，
③当∠BAO＝∠AOB时，
则BO＝AB＝BM＝AM，
∵AD∥BC，DE＝EF，
∴＝＝，
∴OE＝AD，
∵EM＝AD，
∴OM＝AD，
∵BO﹣BM＝OM，
∴BM﹣BM＝AD，
∴BM＝AD，
由（2）知，2BM+AD＝8，
∴（+1）AD+AD＝8，
∴AD＝8﹣4，
综上所述，AD的长为4或8﹣4．
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