2020-2021学年宁夏银川一中高一下学期期末考试数学试题

2020-2021学年宁夏银川一中高一下学期期末考试数学试题

                                                命题教师：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，B＝45°，C＝75°，

则b＝

A．    B．    C．     D．

2．不等式＜0的解集为

A．  B． C． D．

3．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于

A．8 B．10 C．16 D．32

4．在中，角，，所对各边分别为，，，且，

则

A． B． 

C． D．

5．设，且，则

A．   B．   

C．  D．

6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A．9           B．10        C．27   D．36

7．据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯

A．2盏 B．3盏 C．4盏 D．5盏

8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为

A． B．

C．  D．

9．已知，若，则a+b的最小值是

A．2 B． C． D．

10．某加工厂用某原料由甲车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

11．已知数列满足 ，，则的最小值为

A．     B．    C． D．

12．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，的面积，且满足，则的取值范围是（    ）

A． B．     C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13．已知，且满足，则xy的最大值为         .

14．若变量x,y满足约束条件，则z=x+y的最大值是         .

15．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处

的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，

则山的高度BC＝　　m．

16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：

①数列是等比数列；  

②数列是递增数列；

③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有 ；

④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．

其中正确的序号是________________（请写出所有正确的序号）.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为，求；

（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的取值范围．

18.（12分）

在中，.

（1）求；

（2）若，_____ ，求.

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

19.（12分）

已知等差数列满足，且是和的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求.

20．(12分)

某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），已知∠B＝∠C＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片

三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120°．

（1）求AD间的护栏的长度；

（2）求所种植草坪的最大面积．

21．(12分)

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB＝4米，AD＝3米，设AN的长为x米（x＞3）．

（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的

长应在什么范围内？

（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的

面积最小？并求出最小面积．

22.（12分）

设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.

(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并求an；

(2)若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和．期末考试数学答案(2021下)

一．选择题

B A CDC   AADCB  CA

二．填空题

13.1   14.5   15 .600    16. ②④

三．解答题

17.【解析】解：（1）因为不等式x2+px+q＜0的解集为，

所以与是方程x2+px+q＝0的两个实数根，.....................................................（2分）

由根与系数的关系得，解得；

故P+q=0............................................................（5分）

（2）一元二次不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，则△＜0，........（7分）

即m2﹣4×1×（m+7）＜0，

整理得m2﹣4m﹣28＜0，................................................（9分）

解得，

所以m的取值范围是（2﹣4，2+4）．.............................................（10分）

18.【解析】（1）因为，，

所以....................................................................（2分）

又因为，所以，即.

所以...............................（4分）

又因为，所以，所以.........................（6分）

（2）若选①，则在中，由余弦定理，.........（10分）

得，解得或（舍）.所以.................（12分）

若选②，则，.........（10分）

由正弦定理，

得，解得.

所以..............（12分）

19.【解析】（I）设等差数列的公差为，，即，........（2分）

，，，是，的等比中项，

，即，解得........（4分）

数列的通项公式为......................................（6分）

（II）由（I）得........（8分）

......（10分），......（12分）

20.【解析】解：（1）如图，连接AC，在△ABC中，∠B＝120°，

AB＝BC＝3km，

∴根据余弦定理得，

AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°，........（4分）

∵∠B＝∠C＝120°，AB＝BC，

∴∠BCA＝30°，∠ACD＝90°，且CD＝6km，

∴（km）；............................................（6分）

（2）在△ADE中，，∠E＝120°，

∴根据余弦定理，63＝AE2+DE2+AE•DE≥3AE•DE，当且仅当AE＝DE时取等号，..................................（8分）

∴AE•DE≤21，..................................（10分）

∴，

∴所种植草坪的最大面积为km2．..................................（12分）

21.【解析】解：设AN的长为x米（x＞3）

∵ABCD是矩形，∴，∴|AM|...............................（2分）

∴SAMPN＝|AN|•|AM| （x＞3）...............................（4分）

（1）由SAMPN＞54，得 54，

∵x＞3，∴（2x﹣9）（x﹣9）＞0

∴3＜x或x＞9

∴AN长的取值范围是）...............................（6分）

（2）令y，令t＝x﹣3（t＞0）），则x＝t+3...............................（8分）

∴y48...............................（10分）

当且仅当t（t＞0），即t＝3时取等号．

此时AN＝6，AM＝8，最小面积为48平方米．...............................（12分）

22.【解析】：(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，所以a1＝1................................（2分）

因为Sn＝2an－n①，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)②，

①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，

所以＝＝＝2................................（4分）

所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1................................（6分）

(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7.

设{bn}的公差为d，则b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1.

所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n.

所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n. ...............................（8分）

设数列{n·2n}的前n项和为Kn，数列{n}的前n项和为Tn，

则Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n③，

2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1④，

③－④得，

－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，

所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2................................（10分）

又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，

所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2，

所以数列{anbn}的前n项和为(n－1)·2n＋1－＋2................................（12分）