高中数学人教版新课标A选修1-12.3抛物线教学设计及反思

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-12.3抛物线教学设计及反思，共44页。


第1课时　抛物线及其标准方程

归纳总结，核心必记
(1)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程









续表
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程













[问题思考]
(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线，l不过定点F时，点的轨迹是抛物线．
(2)到定点A(3，0)和定直线l：x=－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？
提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2=12x．
(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？
提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，其焦点坐标为（，0），则=2，故p=4.所以抛物线的标准方程是y2=8x．


[思考1]　抛物线的标准方程有哪几种类型？
名师指津：y2=2px(p>0)；y2=－2px(p>0)；x2=2py(p>0)；x2=－2py(p>0)．
[思考2]　抛物线方程中p的几何意义是什么？
名师指津：p的几何意义是：焦点到准线的距离．
[思考3]　如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？
名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p，利用焦点坐标及准线的定义求解．
讲一讲
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2=－14x；(2)5x2－2y=0; (3)y2=ax(a>0)．
[尝试解答]　
(1)因为p=7，所以焦点坐标是（-，0），准线方程是x=.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2=y，因为p=，所以焦点坐标是（0，），
准线方程是y=－.
(3)由a>0知p=，所以焦点坐标是，准线方程是x=－.


根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．
练一练
1．求抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．
解：把抛物线方程y=ax2化成标准方程x2=y.
当a>0时，焦点坐标是（0，），准线方程是y=－；
当a<0时，焦点坐标是（0，），准线方程是y=－.
综上知，所求抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=－.

[思考1]　抛物线标准方程有什么特点？
名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项．
[思考2]　如何求抛物线的标准方程？
名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p的值．
讲一讲
2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6，6);
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6=0上．
[尝试解答]　
(1)∵点M(－6，6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2=－2px(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36=－2p×(－6)，
∴p=3.
∴抛物线的方程为y2=－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2=2py(p>0)，
将点M(－6，6)代入可得，36=2p×6，∴p=3，
∴抛物线的方程为x2=6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2=－6x或x2=6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，
∴抛物线的焦点是F(2，0)，
∴=2，∴p=4，
∴抛物线的标准方程是y2=8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴=3，∴p=6，
∴抛物线的标准方程是x2=－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=－12y.


求抛物线标准方程的两种方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2=mx或x2=ny，利用已知条件求出m，n的值．
练一练
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y=－1;
(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.


解：(1)由准线方程为y=－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且=1，则p=2.故抛物线的标准方程为x2=4y.
(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，
则焦点坐标为，准线为x=－，
则焦点到准线的距离是=p=3，
因此所求的抛物线的标准方程是y2=6x.




讲一讲
3．已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．

[尝试解答]　
如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，

则|PA|＋|PF|=|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴=|AB|=3＋=.
此时yP=2，代入抛物线得xP=2，∴P点坐标为(2，2)．


(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．









练一练
3．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．

由图可知， 当点P，A(0，2)，和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小．
所以最小距离d==.

讲一讲
4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[尝试解答]　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2=－2py(p>0)，则点B的坐标为（，-），

由点B在抛物线上，
得（）2=－2p（-），所以p=，
所以抛物线方程为x2=－ay.
将点(0.8，y)代入抛物线方程，得y=－.
欲使卡车通过隧道，应有－|y|=－>3.
解得a>12.21，或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，
∴a的最小值为13.


在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．
练一练
4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？
解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2=－2py(p>0)，

因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25=－2p·(－5)，因此2p=5，
所以抛物线的方程为x2=－5y，
点A(－4，y0)在抛物线上，所以16=－5y0，即y0=－，
所以OA的长为5－=1.8(m)．
所以管柱OA的长为1.8 m.
—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；
(2)求抛物线的标准方程，如讲2；
(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.
3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．



课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1　由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
1．对抛物线y=4x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
答案为：B；
解析：由y=4x2，得x2=y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.
2．抛物线y=－的准线方程是(　　)
A．x= B．y=2 C．x= D．y=4
答案为：B；
解析：由y=－，得x2=－8y，故抛物线开口向下，其准线方程为y=2.
3．抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A. B. C．|a| D．－
答案为：B；
解析：∵2p=|a|，∴p=.∴焦点到准线的距离是.
题组2　求抛物线的标准方程
4．焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2=20x B．x2=20y C．y2=x D．x2=y
答案为：B；
解析：由5=得p=10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2=2py，所以x2=20y.
5．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2=－4x B．x2=4y
C．y2=－4x或x2=4y D．y2=4x或x2=－4y
答案为：C；
解析：设抛物线方程为y2=－2p1x或x2=2p2y，把(－4，4)代入得16=8p1或16=8p2，
即p1=2或p2=2.故抛物线的标准方程为y2=－4x或x2=4y.
题组3　抛物线定义的应用
6．设圆C与圆x2＋(y－3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
答案为：A；
解析：由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线 y=0的距离大1，
即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y=－1的距离相等，
根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
7．若抛物线y2=8x上一点P到其焦点F的距离为9，则点P的坐标为(　　)
A．(7，±) B．(14，±)
C．(7，±2) D．(－7，±2)
答案为：C；
解析：由y2=8x，得抛物线的准线方程为x=－2，因P点到焦点的距离为9，
故P点的横坐标为7.由y2=8×7，得y=±2，即P(7，±2)．
8．若点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋=0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解：如图．

|PA|＋|PQ|=|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋=0的距离．
d==1.






题组4　抛物线方程的实际应用
9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2py(p>0)．

依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100=－2p×(－4)，2p=25.
即抛物线方程为x2=－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.
由图知，AB是最长的支柱之一，
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2=－25y，得yB=－.所以|AB|=4－=3.84(米)，
即最长支柱的长为3.84米．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．

(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
解：如图所示，

(1)依题意，设该抛物线的方程为x2=－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2=－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|=h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2=－5y，解得h=4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
[能力提升综合练]
1．已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2=16相切，则p的值为(　　)
A.　　　　 B．1 C．2　　　　 D．4
答案为：C；
解析：∵抛物线y2=2px的准线x=－与圆(x－3)2＋y2=16相切，∴－=－1，即p=2.
2．抛物线y=12x2上的点到焦点的距离的最小值为(　　)
A．3 B．6 C. D.
答案为：C；
解析：将方程化为标准形式是x2=y，因为2p=，所以p=.故到焦点的距离最小值为.
3．动点到点(3，0)的距离比它到直线 x=－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
答案为：D；
解析：已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x=－3的距离”，
由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
4．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1 C. D.
答案为：C；
解析：∵|AF|＋|BF|=xA＋xB＋=3，∴xA＋xB=.
∴线段AB的中点到y轴的距离为=.
5．已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=________．
答案为：
解析：根据抛物线的定义得1＋=5，解得p=8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，
由已知得－×2=－1，故a=.
6．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|=________．
答案为：8
解析：如图所示，直线AF的方程为y=－(x－2)，

与准线方程x=－2联立得A(－2，4)．
设P(x0，4)，代入抛物线y2=8x，得8x0=48，∴x0=6，∴|PF|=x0＋2=8.
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2=－2py(p>0)，则焦点F（0，-），
准线l：y=，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|=|MF|=5，而|MN|=3＋=5，即p=4.

所以抛物线方程为x2=－8y，准线方程为y=2.
由m2=－8×(－3)=24，得m=±2.
法二：设所求抛物线方程为x2=－2py(p>0)，则焦点为F（0，-）.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|=5，
故解得
∴抛物线方程为x2=－8y，m=±2，准线方程为y=2.





8．已知圆C的方程x2＋y2－10x=0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，
∴R=|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2=25外切，
∴|PC|=R＋5.
即|PC|=|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x>0，
则|PC|=x＋5，
故点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，
则圆心P的轨迹方程为y2=20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，即x<0，
则|PC|=－x＋5，
此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y=0(x<0)．
故点P的轨迹方程为y2=20x(x>0)或y=0(x<0)．















第2课时　抛物线的简单几何性质
归纳总结，核心必记
抛物线的几何性质
类型
y2=2px
(p>0)
y2=－2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=－2py
(p>0)
图象








性
质
焦点





准线





范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴


顶点
O(0，0)
离心率
e=1
开口
方向





[问题思考]
在同一坐标系下画出抛物线y2=x，y2=2x和y2=3x的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．

讲一讲
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[尝试解答]　
椭圆的方程可化为＋=1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即=3，∴p=6.
∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=－12x，其准线方程分别为x=－3和x=3.

(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
练一练
1．已知双曲线方程是－=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
解：因为双曲线－=1的右顶点坐标为(2，0)，所以=2，
且抛物线的焦点在x轴正半轴上，
所以所求抛物线方程为y2=8x，其准线方程为x=－2.

[思考]　抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？

名师指津：x0＋；－x0；y0＋；－y0；x1＋x2＋p；p－x1－x2；y1＋y2＋p；p－y1－y2．
讲一讲
2．已知抛物线y2=6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
[尝试解答]　
设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y=6x1，y=6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)=6(x1－x2)．
∵y1＋y2=2，∴k===3，
∴直线的方程为y－1=3(x－4)，即3x－y－11=0.
由得y2－2y－22=0，
∴y1＋y2=2，y1·y2=－22.
∴|P1P2|= ·=.

(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
练一练
2．已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k=tan 60°=.

又F.所以直线l的方程为y=.
联立消去y，得x2－5x＋=0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2=5，
而|AB|=|AF|＋|BF|=＋=x1＋x2＋p.
∴|AB|=5＋3=8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋＋x2＋=x1＋x2＋p=x1＋x2＋3=9，
所以x1＋x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x=－，所以M到准线的距离等于3＋=.

[思考1]　若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？
名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
[思考2]　如何判断点P(x0，y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系？
名师指津：(1)P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)内部⇔y<2px0；
(2)P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)上 ⇔y=2px0；
(3)P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)外部⇔y>2px0．
讲一讲
3．设直线l：y=kx＋1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．
[尝试解答]　
联立方程组消去y，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0.
若k≠0，方程k2x2＋(2k－4)x＋1=0为一元二次方程．
∴Δ=(2k－4)2－4k2=16(1－k)．
(1)当Δ=0，即k=1时，l与C相切，
(2)当Δ>0，即k<1时，l与C相交，
(3)当Δ<0，即k>1时，l与C相离．
若k=0，直线l方程为y=1，显然与抛物线C交于.
综上所述，当k=1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交；当k>1时，l与C相离．

研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．
练一练
3．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB=90°，证明：直线AB必过一定点．
证明：设OA所在直线的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=－x，由题意知k≠0.
由解得或即点A的坐标为，
同样由解得点B的坐标为(2k2，－2k)．
故AB所在直线的方程为y＋2k=(x－2k2)，
化简并整理，得y=x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，
当x=2时，恒有y=0.
故直线过定点P(2，0)．
——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．
2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；
(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.
4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．

课时达标训练（二）
[即时达标对点练]
题组1　抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案为：D；
解析；∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴=3，即p=6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．

2．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11=0上，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2=－11x B．y2=11x C．y2=－22x D．y2=22x
答案为：C；
解析；在方程2x－4y＋11=0中，令y=0得x=－，
∴抛物线的焦点为F，即=，∴p=11，
∴抛物线的方程是y2=－22x，故选C.
题组2　抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
答案为：B；
解析；由抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，
得直线的方程为y=x－2，代入y2=8x得(x－2)2=8x，即x2－12x＋4=0.
∴x1＋x2=12，弦长=x1＋x2＋p=12＋4=16.
4．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为(　　)
A．4 B．－4 C．p2 D．－p2
答案为：B；
解析；kOA·kOB==·=，根据焦点弦的性质x1x2=，y1y2=－p2，
故kOA·kOB==－4.
5．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2=6，
则|AB|=________．
答案为：8
解析：|AB|=x1＋x2＋p=6＋2=8.
6．线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，且|AB|=4，则线段AB的中点C到直线x＋=0的距离为________．
答案为：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|=x1＋x2＋p=4，
∴x1＋x2=4－=，∴中点C(x0，y0)到直线x＋=0的距离为x0＋=＋=＋=.
题组3　直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y=kx－k及抛物线y2=2px(p>0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
答案为：C；
解析：∵直线y=kx－k=k(x－1)，∴直线过点(1，0)．
又点(1，0)在抛物线y2=2px的内部．
∴当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，
则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
答案为：C；
解析：准线x=－2，Q(－2，0)，设l：y=k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2=0.
当k=0时，即交点为(0，0)，当k≠0时，Δ≥0，－1≤k<0或0 综上，k的取值范围是[－1，1]．
9．在抛物线y2=2x上求一点P.使P到直线x－y＋3=0的距离最短，并求出距离的最小值．
解：法一：设P(x0，y0)是y2=2x上任一点，
则点P到直线l的距离d===，
当y0=1时，dmin=，∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3=0平行的直线方程为x－y＋m=0，
由得y2－2y＋2m=0，
∵Δ=(－2)2－4×2m=0，∴m=.
∴平行直线的方程为x－y＋=0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，
则dmin==，此时点P的坐标为.
10．如图所示，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，求此抛物线的方程．

解：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|=|BD|，

又2|BF|=|BC|，∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°.
又|AF|=3，∴|AA′|=3，|AC|=6，|FC|=3.
∴F到准线距离p=|FC|=.
∴y2=3x.
[能力提升综合练]
1．设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)
A.　　　　 B．p　　　 C．2p　　　　 D．无法确定
答案为：C；
解析：当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.
2．已知抛物线y2=2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x=1 B．x=－1 C．x=2 D．x=－2
答案为：B；
解析：抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x－，
即x=y＋，代入y2=2px得y2=2py＋p2，即y2－2py－p2=0，
由根与系数的关系得=p=2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，
所以抛物线方程为y2=4x，准线方程为x=－1.


3．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于(　　)
A．45° B．90° C．60° D．120
答案为：B；
解析：如图，由抛物线定义知|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，所以∠AA1F=∠AFA1.

又∠AA1F=∠A1FO，所以∠AFA1=∠A1FO，
同理∠BFB1=∠B1FO.
于是∠AFA1＋∠BFB1=∠A1FO＋∠B1FO=∠A1FB1，故∠A1FB1=90°.
4．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x－4与C交于A，B两点，
则cos∠AFB=(　　)
A. B. C．－ D．－
答案为：D；
解析：由得x2－5x＋4=0，∴x=1或x=4.

5．已知直线y=k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点．
若|FA|=2|FB|，则k=________．
答案为：.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2=0，∴x1x2=4，　①
∵|FA|=x1＋=x1＋2，|FB|=x2＋=x2＋2，且|FA|=2|FB|，∴x1=2x2＋2.　②
由①②得x2=1，∴B(1，2)，代入y=k(x＋2)，得k=.


6．抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－=1相交于A，B两点，
若△ABF为等边三角形，则p=________．
答案为：6
解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y=－.代入－=1
得|x|= .要使△ABF为等边三角形，
则tan ===，解得p2=36，p=6.
7．已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．
(1)证明：y1y2=－p2，x1x2=；
(2)求＋的值．
解：(1)证明：过焦点F的直线AB的方程为y=k或x=.
当直线AB的方程为y=k时，由消去x，得ky2－2py－kp2=0.
∵AB与抛物线有两个交点，∴k≠0.由韦达定理得y1y2=－p2.
又y=2px1，y=2px2，∴x1x2=·==.
当直线AB的方程为x=时，x1x2=，y1=p，y2=－p，∴y1y2=－p2.
(2)设直线AB：y=k或x=.当直线AB的方程为y=k时，
由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋=0.
∵AB与抛物线有两个交点，∴k≠0.∴x1＋x2=，x1x2=.
又|AF|=x1＋，|BF|=x2＋，∴|AF|＋|BF|=x1＋x2＋p.
|AF|·|BF|==x1x2＋(x1＋x2)＋=(x1＋x2)＋
=(x1＋x2＋p)=，即|AF|＋|BF|=·|AF|·|BF|，∴＋=.
当直线AB的方程为x=时，x1=x2=，y1=p，y2=－p，
∴|AF|=|BF|=p，∴＋=.






　　
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：
(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
(2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用．


[典例1]　
(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，
离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，
那么C的方程为________．
(2)若F1，F2是双曲线－=1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|=5|MF2|，
则△MF1F2的面积等于________．
答案为：(1)＋=1　(2)3
解析：(1)设椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，

则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|=|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|=4a=16，∴a=4.
又离心率e==，∴c=2，∴b2=a2－c2=8，
∴椭圆C的方程为＋=1.
(2)由已知，得a2=16，b2=9，c2=25，所以a=4，c=5.
由于点M在双曲线上，且|MF1|=5|MF2|，则M在右支上，
根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|=2a=8，
又|MF1|=5|MF2|，所以|MF1|=10，|MF2|=2，
而|F1F2|=2c=10，则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，
则F1N⊥MF2，且|F1N|==3，
从而S△MF1F2=×2×3=3.
[对点训练]
1．抛物线y2=2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，
若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)
A．x1，x2，x3成等差数列　　　B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列



答案为：A；
解析：如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，

由抛物线定义得，|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，|CF|=|CC′|.
∵2|BF|=|AF|＋|CF|，∴2|BB′|=|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|=x1＋，|BB′|=x2＋，|CC′|=x3＋，
∴2=x1＋＋x3＋⇒2x2=x1＋x3，∴选A.
2．若点M(2，1)，点C是椭圆＋=1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
答案为：8－
解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，

那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|=2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a=4，|BM|==，所以(|AM|＋|AC|)min=8－.


1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．
2．求离心率的值或取值范围的主要方法有：
(1)定义法：利用a，b，c之间的关系以及e=，知道a，b，c中任意两个可求e.
(2)方程法：建立a与c的齐次关系式，可求离心率e.
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．

[典例2]　
已知椭圆＋=1和双曲线－=1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　)
A．x=±y　　　B．y=±x C．x=±y D．y=±x
答案为：D；
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(±，0)，双曲线焦点(±，0)，
∴3m2－5n2=2m2＋3n2，∴m2=8n2，即|m|=2|n|.
又双曲线渐近线为y=±·x，将|m|=2|n|代入上式，得y=±x.
[典例3]　
已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=，求椭圆离心率e的范围．
解：△F1PF2中，∠F1PF2=，由椭圆定义及余弦定理，
得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos=(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
即4c2=4a2－3|PF1|·|PF2|.
故4a2－4c2=3|PF1||PF2|≤3=3a2，由此可得离心率e∈.
[对点训练]
3．双曲线－=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A．2　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案为：C；
解析：双曲线－=1的两条渐近线方程为y=±x，依题意有·=－1，故=1，
所以=1，即e2=2，所以双曲线的离心率e=.
4．椭圆＋=1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，
△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
答案为：
解析：设椭圆的另一个焦点为F′，则△FAB的周长|FA|＋|AB|＋|FB|
≤|FA|＋|F′A|＋|FB|＋|F′B|=4a.所以4a=12，a=3，e==.

5．如图，已知椭圆C1的中心为原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

(1)设e=，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设：
C1：＋=1，C2：＋=1，其中a＞b＞0.
设直线l：x=t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，
求得A，B.
当e=时，b=a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，
可知|BC|∶|AD|===.
(2)t=0时的l不符合题意．
t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，
即=，解得t=－=－·a.
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以＜1，解得＜e＜1.
所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；当＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.



1.直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，内容涉及直线与圆锥曲线的公共点的个数、弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值等问题，题型主要以解答题的形式出现，这类问题综合性较强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合，突出考查函数与方程、数形结合、化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力．
2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．
[典例4]　
已知椭圆G：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得，c=2，=.解得a=2.
又b2=a2－c2=4，所以椭圆G的方程为＋=1.
(2)设直线l的方程为y=x＋m，由得4x2＋6mx＋3m2－12=0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，
则x0==－，y0=x0＋m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k==－1，解得m=2，
此时方程①为4x2＋12x=0.解得x1=－3，x2=0.
所以y1=－1，y2=2.所以|AB|=3.
此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2=0的距离d==，
所以△PAB的面积S=|AB|·d=.
[对点训练]
6．直线y=kx与双曲线x2－y2=1没有公共点，则k的取值范围是________．
答案为：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：数形结合得k≥1或k≤－1.

7．已知直线l：y=(a＋1)x－1与曲线C：y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值．
解：联立方程
①当a=0时，此方程组恰有一组解
②当a≠0时，消去x，得y2－y－1=0.
(ⅰ)若=0，即a=－1，
方程变为一元一次方程－y－1=0.
方程组恰有一组解
(ⅱ)若≠0，即a≠－1，
令Δ=0，得1＋=0，可解得a=－，
这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述，当a=0，－1，－时，直线与曲线y2=ax只有一个公共点.

1.圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．
2．圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决．
[典例5]　
如图所示，椭圆C：＋=1(a＞b＞0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．

(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，
|PF1|取得最小值与最大值；
(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；
(3)若直线l：y=kx＋m与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，
且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)证明：设点P的坐标为(x，y)，
令f(x)=|PF1|2=(x＋c)2＋y2.
又点P在椭圆C上，故满足＋=1，则y2=b2－x2.
代入f(x)得，f(x)=(x＋c)2＋b2－x2=x2＋2cx＋a2，
则其对称轴方程为x=－，由题意，知－＜－a恒成立，
∴f(x)在区间[－a，a]上单调递增．
∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值．
(2)由已知与(1)得：a＋c=3，a－c=1，∴a=2，c=1.∴b2=a2－c2=3.
∴椭圆C的标准方程为＋=1.
(3)证明：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)=0，
则Δ=64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，即3＋4k2－m2＞0，
x1＋x2=－，x1·x2=.
又y1y2=(kx1＋m)(kx2＋m)=k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2=.
∵椭圆的右顶点为A2(2，0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2=0.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4=0.
即＋＋＋4=0.
∴7m2＋16km＋4k2=0，解得m1=－2k，m2=－，
且均满足3＋4k2－m2＞0.
当m1=－2k时，l的方程为y=k(x－2)，
直线过定点(2，0)，与已知矛盾．
当m2=－时，l的方程为y=k，直线过定点.
综上，直线l过定点，定点坐标为.
[典例6]　
已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，椭圆上两点A，B坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为，∠BF2A=120°.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，
证明：点O到直线MN的距离为定值．
解：(1)由题意易知a=2c，b=c，
S△ABF2=×(2c－c)×c=c2=，所以c=1，a=2，b=，
所以椭圆方程为＋=1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNO为等腰直角三角形，所以|y1|=|x1|，
又＋=1，解得|x1|==，即O到直线MN的距离d=.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx＋m，
与椭圆＋=1联立消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12=0，
所以x1＋x2=－，x1x2=，
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2=0，
所以x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)=0，即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2=0，
所以(k2＋1)－＋m2=0，整理得7m2=12(k2＋1)．
所以O到直线MN的距离d===.
综上，点O到直线MN的距离为定值．
[对点训练]
8．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC面积为最大值时，
求直线l的方程．
解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋=1.
将点A(1，)代入方程，得＋=1，
整理得a4－5a2＋4=0，解得a2=4或a2=1(舍去)，
故所求椭圆方程为＋=1.
(2)设直线BC的方程为y=x＋m，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
代入椭圆方程并化简，得4x2＋2mx＋m2－4=0，
由Δ=8m2－16(m2－4)=8(8－m2)＞0，可得m2＜8.(*)
又x1＋x2=－m，x1x2=，故|BC|=|x1－x2|=.
又点A到BC的距离为d=.
故S△ABC=|BC|·d=≤·=，
当且仅当2m2=16－2m2，即m=±2时取等号(满足(*)式)，S取得最大值，
此时直线l的方程为y=x±2.







　　
在解决平面向量与解析几何的综合问题时，应注意以下两点：
一是注意在题目中，用向量表达式表述的题目条件的转化与翻译，能准确地将一些向量表达式表示的关系，在几何图形中反映出来．
二是善于用向量的方法和向量的运算解决几何问题，例如：证明直线的平行与垂直问题时，可以通过向量的共线和数量积运算解决，研究角的大小、范围问题时，可以通过数量积的坐标运算来实现等．
[典例7]　
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M(－1，0)的直线l与椭圆交于P，Q两点．
(1)若直线l的斜率为1，且求椭圆的标准方程；
(2)若(1)中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
解：(1)由e=，得=，即a2=4b2，故椭圆方程为x2＋4y2=4b2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由，得y1=－y2，
由消去x，得5y2－2y＋1－4b2=0，∴y1＋y2=，y1y2=，
由此得b2=1，a2=4，故椭圆方程为＋y2=1.
(2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k(x＋1)，代入椭圆方程，得
x2＋4k2(x＋1)2=4，即(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4=0，
则
所以=(x1－2，y1)·(x2－2，y2)=(x1－2)(x2－2)＋y1y2
=(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2==＜.
当直线l的斜率不存在，即α=90°时，=，
因此当α=90°时，取得最大值，最大值为.

[对点训练]
9．如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且.

(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知 ，求证：λ1＋λ2为定值．
解：(1)法一：如图，以线段FM的中点为原点O，
以线段FM所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，

则F(0，1)，设动点P的坐标为(x，y)，
则动点Q的坐标为(x，－1)，
由，得动点P的轨迹方程为x2=4y.
法二：所以，动点P的轨迹C是抛物线，
以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，
可得轨迹C的方程为x2=4y.
(2)设直线AB的方程为y=kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则N.
联立方程消去y，得x2－4kx－4=0，
因为Δ=(－4k)2＋16＞0，所以
得，x1＋=－λ1x1，x2＋=－λ2x2，
整理得，λ1=－1－，λ2=－1－，
λ1＋λ2=－2－=－2－·=－2－·=0.故λ1＋λ2为定值0.




一、选择题
1．如果方程x2＋ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，2) C. D．(0，1)
答案为：D；
解析：由x2＋ky2=2，得＋=1，又∵椭圆的焦点在y轴上，∴＞2，即0＜k＜1.
2．已知双曲线－=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案为：A；
解析：由=得b=a，∴c===a.∴e==.
3．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为4，则P到坐标原点的距离为(　　)
A．5 B．2 C．4 D.
答案为：B；
解析：抛物线y2=8x的准线方程为x=－2，由P到焦点的距离为4知，
P到准线的距离为4，故P的横坐标xP=2，y=16，|PO|==2.
4．若点P到直线x=－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案为：D；
解析：由题意得，点P到直线x=－2的距离与它到点(2，0)的距离相等，
因此点P的轨迹是抛物线．
5．设P是双曲线－=1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，
F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=3，则|PF2|=(　　)
A．1或5　　　　 B．6　　　　 C．7　　　　 D．8
答案为：C；
解析：双曲线－=1的一条渐近线方程为3x－2y=0，故a=2.又P是双曲线上一点，
故||PF1|－|PF2||=4，而|PF1|=3，则|PF2|=7.


6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足：
|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2，则曲线C的离心率等于(　　)
A.或　　　　B.或2 C.或2 D.或
答案为：A；
解析：设|PF1|=4k，|F1F2|=3k，|PF2|=2k.若曲线C为椭圆，则2a=6k，2c=3k，∴e=；
若曲线C为双曲线，则2a=2k，2c=3k，∴e=.
7．过双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)作圆x2＋y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
答案为：A；
解析：设双曲线右焦点为M，∵OE⊥PF，∴在直角三角形OEF中，|EF|=.
又，∴E是PF的中点．∴|PF|=2，
又O是FM的中点，∴MP⊥FP，∴|PM|=a，
又|PF|－|PM|=2a，∴2－a=2a，∴离心率e==.
8．已知双曲线－=1的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|=5，
则△PF1F2最大内角的余弦值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案为：B；
解析：由双曲线定义知|PF2|=|PF1|±2a.所以|PF2|=9或|PF2|=1＜c－a=2(舍去)．
又|F1F2|=8，所以△PF1F2的最大内角为∠PF1F2，cos∠PF1F2==.
9．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋=1　　　B.＋=1 C.＋=1 D.＋=1
答案为：D；
解析：因为椭圆的离心率为，所以e==，c2=a2=a2－b2，所以b2=a2，即a2=4b2.
双曲线的渐近线方程为y=±x，代入椭圆方程得＋=1，即＋==1，
所以x2=b2，x=±b，y2=b2，y=±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的
交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b=b2=16，所以b2=5，
所以椭圆方程为＋=1.
10．已知|AB|=3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是(　　)
A.＋y2=1 B．x2＋=1 C.＋y2=1 D．x2＋=1
答案为：A；
解析：设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0，0)，由已知得(x，y)=(0，y0)＋(x0，0)，
即x=x0，y=y0，所以x0=x，y0=3y.因为||=3，所以x＋y=9，即＋(3y)2=9，
化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2=1.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)
A．y2=x B．y2=x C．x2=－y D．x2=－y
答案为：C；
解析：如果设抛物线的方程为y2=2px(p＞0)，则抛物线过点(40，30)，
从而有302=2p×40，即2p=，所以所求抛物线方程为y2=x.
虽然选项中没有y2=x，但C中的2p=符合题意．
12．双曲线与椭圆4x2＋y2=64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为(　　)
A．y2－3x2=36 B．x2－3y2=36 C．3y2－x2=36 D．3x2－y2=36
答案为：A；
解析：由4x2＋y2=64得＋=1，c2=64－16=48，∴c=4，e==.
∴双曲线中，c′=4，e′==.∴a′=c′=6，b′2=48－36=12.
∴双曲线方程为－=1，即y2－3x2=36.
二、填空题
13．以双曲线－=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
答案为：＋=1
解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)．
14．设F1，F2为曲线C1：＋=1的焦点，P是曲线C2：－y2=1与C1的一个交点，
则△PF1F2的面积为________．
由得则S△PF1F2=|F1F2|·|y|=×4×=.
答案为：
解析：由题意知|F1F2|=2=4，设P点坐标为(x，y)．
15．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=________．
答案为：.
解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|=8，
所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|=c=5，连接AF1，
因为A，B关于原点对称，所以|AF1|=|BF|=8，所以2a=14，a=7，所以离心率e=.
16．已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点与双曲线x2－=1的右焦点F重合，抛物线的准线与x轴交于点K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为________．
答案为：8
解析：由题意得=2，p=4，抛物线方程为y2=8x，K(－2，0)，
设A(x0，y0)，|AF|=a，x0=a－2，由|AK|=a得a2＋y=2a2，
又y=8(a－2)，∴a2=8(a－2)，解得a=4.由已知可得|y0|=a=4.∴S△AFK=×4×4=8.





三、解答题
17．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)，且c=.
设双曲线为－=1(m＞0，n＞0)，
m=a－4.因为=，所以=，解得a=7，m=3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，所以b2=36，n2=4.
所以椭圆方程为＋=1，双曲线方程为－=1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋=1，双曲线方程为－=1.
18．已知过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y=2，与y2=2px联立，
从而有4x2－5px＋p2=0，所以x1＋x2=.
由抛物线定义得：|AB|=x1＋x2＋p=9，所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4，4x2－5px＋p2=0
可简化为x2－5x＋4=0.
从而x1=1，x2=4，y1=－2，y2=4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设=(x3，y3)=(1，－2)＋λ(4，4)
=(4λ＋1，4λ－2)，
又y=8x3，即[2(2λ－1)]2=8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2=4λ＋1，
解得λ=0或λ=2.




19．如图所示，F1，F2分别为椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，

已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
解：(1)由题设知，2a=4，即a=2，
将点代入椭圆方程得＋=1，解得b2=3，
故椭圆方程为＋=1.
(2)由(1)知A(－2，0)，B(0，)，
所以kPQ=kAB=，所以PQ所在直线方程为y=(x－1)，
由得8y2＋4y－9=0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2=－，y1·y2=－，
所以|y1－y2|===，
所以S△F1PQ=|F1F2|·|y1－y2|=×2×=.









20．如图，椭圆E：＋=1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.

(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，
证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：(1)由题意知=，b=1，综合a2=b2＋c2，解得a=，
所以，椭圆的方程为＋y2=1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y=k(x－1)＋1，代入＋y2=1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)=0，
由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2=，x1x2=，
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP＋kAQ=＋=＋
=2k＋(2－k)=2k＋(2－k)
=2k＋(2－k)=2k－2(k－1)=2.
21．已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y=kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
解：(1)－y2=1.
(2)消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0，
由已知，1－3k2≠0且Δ=12(m2＋1－3k2)＞0⇒m2＋1＞3k2.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0==，y0=kx0＋m=，
因为AP⊥CD，所以kAP===－，整理得3k2=4m＋1.②
联立①②得m2－4m＞0，所以m＜0或m＞4，又3k2=4m＋1＞0，
所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.
故m的取值范围为（－，0）∪(4，＋∞)．
22．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C1：＋=1(a＞b＞0)的一个焦点．C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，.
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2=4y知其焦点F的坐标为(0，1)，
因为F 也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2=1.①
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2=4y，
由此可知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋=1.②
联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为＋=1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，


从而x3－x1=x4－x2，即x3－x4=x1－x2，于是(x3＋x4)2－4x3x4=(x1＋x2)2－4x1x2.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx＋1，

由得x2－4kx－4=0，而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1＋x2=4k，x1x2=－4，④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64=0，
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4=－，x3x4=－，⑤
将④、⑤代入③，得16(k2＋1)=＋.
即16(k2＋1)=，所以(9＋8k2)2=16×9，解得k=±，
即直线l的斜率为±.