高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案，共27页。学案主要包含了例1-1，变式1-1，例1-2，变式1-2，变式1-3，变式1-4，例2-1，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
【知识二】向量的减法运算
1.相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.相反向量的性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
3.向量的减法定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
4.几何意义：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq \(BA,\s\up6(→))，如图所示.
5.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
【知识三】向量的数乘运算
1.定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
2.向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3.向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
【变式1-1】如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
(1)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝________；(2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝________；(3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝________.
【例1-2】化简：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； (2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))； (3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
【变式1-2】已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________.
【变式1-4】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
【例2-1】如图，在各小题中，已知，分别求作．
【变式2-1】如图所示，O为△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.求作：b＋c－a.
【例2-2】化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(OD,\s\up6(→))＝________.
【例3-1】把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：
（1），； （2），；
（3），； （4），．
【变式3-1】计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
【例3-2】如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示．
【变式3-2】在△ABC中，若点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))B.eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))D.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
【例3-3】设a，b是不共线的两个向量.
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
【变式3-3】已知向量e1，e2不共线，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5e1＋6e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝7e1－2e2，则共线的三个点是________.
课后练习题
1．化简．
（1）．
（2）．
2．下列四式不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

4．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
5．化简：（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，，求作和.
7．化简下列各式：
（1）；
（2）．
8．已知点是平行四边形内一点，且＝ ，＝ ，＝ ，试用表示向量、、、及．
9．判断下列各小题中的向量与是否共线：
（1），；
（2），．
10.设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．
6.2.1 平面向量的线性运算
【知识一】向量加法的运算
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
【知识二】向量的减法运算
1.相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.相反向量的性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
3.向量的减法定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
4.几何意义：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq \(BA,\s\up6(→))，如图所示.
5.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
【知识三】向量的数乘运算
1.定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
2.向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3.向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
【解析】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；
将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.如图所示，．
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
【变式1-1】如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
(1)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝________；(2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝________；(3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝________.
【答案】 (1)eq \(OB,\s\up6(→)) (2)eq \(AD,\s\up6(→)) (3)0
【解析】(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→)).
(2)因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(FE,\s\up6(→))，故eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))方向相同，长度为eq \(BC,\s\up6(→))的长度的2倍，故eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
(3)因为eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(FE,\s\up6(→))，故eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝0.
【例1-2】化简：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
【解析】(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
【变式1-2】已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得，故A正确；
由，故B正确；
根据平行四边形法则，可得，故C正确，D不正确.故选：D.
【变式1-3】已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________.
【答案】 2eq \r(2)
【解析】 |eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
【变式1-4】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
【解析】如图所示，设eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))分别表示A，B所受的力，10 N的重力用eq \(CG,\s\up6(→))表示，则eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→)).
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴|eq \(CE,\s\up6(→))|＝|eq \(CG,\s\up6(→))|cs 30°
＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)(N)，
|eq \(CF,\s\up6(→))|＝|eq \(CG,\s\up6(→))|cs 60°
＝10×eq \f(1,2)＝5(N).
∴A处所受的力为5eq \r(3) N，B处所受的力为5 N.
【例2-1】如图，在各小题中，已知，分别求作．
【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，
如图，，

(1) (2)

(3) (4)
【变式2-1】如图所示，O为△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.求作：b＋c－a.
【解析】方法一 以eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝b＋c，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a.
方法二 作eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＝b，
连接AD，则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝c－a，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝c－a＋b＝b＋c－a.
【例2-2】化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】①；
②；
③；
④；
以上各式化简后结果均为,故选:D
【变式2-2】如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(OD,\s\up6(→))＝________.
【答案】a＋c－b
【解析】由已知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋c－b.
【例3-1】把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【变式3-1】计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
【解析】(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
【例3-2】如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示．
【答案】，，
【解析】
【变式3-2】在△ABC中，若点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))B.eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))D.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
【答案】 D
【解析】 示意图如图所示，
由题意可得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
【例3-3】设a，b是不共线的两个向量.
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
【解析】(1)证明 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线.
(2)解 ∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，))
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
【变式3-3】已知向量e1，e2不共线，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5e1＋6e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝7e1－2e2，则共线的三个点是________.
【答案】 A，B，D
【解析】∵eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
课后练习题
1．化简．
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）；
（2）.
2．下列四式不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；故选：A.
3．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

【答案】（1）（2）（3），见解析
【解析】（1）
（2）.
（3）.
证明如下：
4．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
【答案】（1）.（2）（3）.
（4）（5）（6）.（7）
【解析】（1）原式.
（2）原式
（3）原式.
（4）原式
（5）原式
（6）原式.
（7）原式
5．化简：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】．故选：．
6．已知向量，，，求作和.
【答案】详见解析
【解析】由向量加法的三角形法则作图：
由向量三角形加减法则作图：
7．化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】(1)； (2) .
【解析】（1）原式．
（2）原式．
8．已知点是平行四边形内一点，且＝ ，＝ ，＝ ，试用表示向量、、、及．
【答案】；=；＝ ；＝．
【解析】∵四边形为平行四边形．
∴＝＝；
＝－＝；
＝－＝ ；
＝－＝ ；
＝＋＝ ．
9．判断下列各小题中的向量与是否共线：
（1），；
（2），．
【答案】（1）与共线；（2）与共线．
【解析】（1），所以与共线；
（2），所以与共线．
10.设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．
【答案】
【解析】，
∵B，D，F三点共线，∴，即．
由题意知不共线，得，解得．
当反向时有,
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq \(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq \(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则